Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C
Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại P và vẽ đường thẳng song song với CD cắt BD tại Q. Ta có mp (MNPQ) song song với cả AB và CD. Từ đó
Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác (do M, N là các trung điểm) ta suy ra được MP = MQ = NP = a hay tứ giác MPNQ là hình thoi.
Tính được
Đáp án D
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND .
Xét tam giác MND , ta có 
Do đó tam giác MND cân tại D .
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH ⊥ MN
Diện tích tam giác 
Trong tam giác BCD có: Plà trọng tâm, N là trung điểm BC .
Suy ra N; P; D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND..
Xét tam giác MND, ta có M N = A B 2 = a ; D M = D N = A D 3 2 = a 3
Do đó tam giác MND cân tại D.
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH và MN vuông góc với nhau..
Diện tích tam giác S Δ M N D = 1 2 M N . D H = 1 2 M N . D M 2 − M H 2 = a 2 11 4
Chọn C.
Đáp án D
Vẽ AO ⊥ (BCD, MH ⊥ (BCD). Gọi K là trung điểm EF, ta có (ABK) ⊥ (BCD), mp (ABK) chứa AO, MH và là mặt phẳng trung trực của đoạn CD và EF.
Gọi J là trung điểm CD; G là giao điểm của MK và AJ; I là giao điểm của MK và AO.
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của ME với AC, MF với AD. Khi đó (MNP) chính là thiết diện khi cắt tứ diện đều ABCD bởi mp (MEF). Vì BE=BF=2a nên ta cũng có MN=MP, hay tam giác MNP cân tại M, đường cao MG.
Để tính diện tích MNP, ta cần đi tìm MG và NP.
Vì G là giao điểm của các đường trung tuyến AJ và MK trong tam giác ABK nên G là trọng tâm của tam giác ABK, do đó MG = 1 3 MK (1) và AG = 2 3 AJ hay NP = 2 3 CD = 2 a 3 (vì NP//CD//EF và chứng minh dựa vào các tam giác đồng dạng, tính chất tỉ số đồng dạng và các đường cao; đường cao AG, AJ trong tam giác ANP và ACD).
Áp dụng nhanh: tam giác đều cạnh a có độ dài mỗi đường cao là 3 2 a (và diện tích là 3 4 a 2 ).
Tam giác đều BCD cạnh a có đường cao BJ = 3 2 a , trọng tâm O, suy ra BO = 2 3 BJ = a 3 . Lại vì MH là đường trung bình trong tam giác vuông ABO nên
Vì tam giác MHK vuông tại H nên ta có
Quay lại (1), ta có
từ đó tính được diện tích tam giác MNP là
a) Có: MN ⊂ (ABN)
⇒ G ∈ (ABN)
⇒ AG ⊂ (ABN).
Trong (ABN), gọi A’ = AG ∩ BN.
⇒ A’ ∈ BN ⊂ (BCD)
⇒ A’ = AG ∩ (BCD).
b) + Mx // AA’ ⊂ (ABN) ; M ∈ (ABN)
⇒ Mx ⊂ (ABN).
M’ = Mx ∩ (BCD)
⇒ M’ nằm trên giao tuyến của (ABN) và (BCD) chính là đường thẳng BN.
⇒ B; M’; A’ thẳng hàng.
⇒ BM’ = M’A’ = A’N.
c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:
ΔMM’N có: MM’ = 2.GA’
ΔBAA’ có: AA’ = 2.MM’
⇒ AA’ = 4.GA’
⇒ GA = 3.GA’.
Lời giải:Tam giác $BCD, ACD$ đều và $N$ là trung điểm $CD$ nên dễ dàng tính được $AN=BN=\frac{\sqrt{3}a}{2}$
$\Rightarrow \triangle ABN$ là tam giác cân tại $N$
Do đó đường trung tuyến $NM$ đồng thời là đường cao.
Áp dụng định lý Pitago:
$MN=\sqrt{BN^2-BM^2}=\sqrt{BN^2-(\frac{AB}{2})^2}$
\(=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}a}{2})^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)