Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)
\(M=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)
\(M=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\)
\(M\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}=\frac{1+2+4}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{7}{16}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge xyz\)
Ta có \(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 1 )
Xét \(3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)
Ta có \(\frac{1}{27}\ge xyz\)
\(\Rightarrow\frac{64}{27}\ge64xyz\)
\(\Rightarrow\frac{27}{64}\le\frac{1}{64xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\ge\frac{9}{4}\)
Vậy \(M_{min}=\frac{9}{4}\)
chung minh rang bieu thuc 4x(x+y)(x+y+z)(x+y) y^2x^2 luon luon khong am voi moi gia tri cua x,y va z
Đặt \(A=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)
\(=4\left(x+y\right)\left(x+z\right)x\left(x+y+z\right)+y^2z^2=4\left(x^2+xz+xy+yz\right)\left(x^2+xy+xz\right)+y^2z^2\)
Đặt x2+xy+xz=t, ta có:
\(A=4\left(t+yz\right)t+y^2z^2=4t^2+4tyz+y^2z^2=\left(2t+yz\right)^2=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\ge0\)
chung minh rang bieu thuc 4x(x+y)(x+y+z)(x+y) y^2x^2 luon luon khong am voi moi gia tri cua x,y va z
ta có : \(4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)y^2x^2=4x\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)^2y^2x^2\)
không thể khẳng định đc \(\Rightarrow\) bn xem lại đề .
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Ta rút gọn tử thức trc: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=x^3+y^3+z^3+x^2y-x^2y+xy^2-xy^2+y^2z-y^2z+yz^2-yz^2+x^2z-x^2z+xz^2-xz^2-xyz-xyz-xyz=x^2\left(x+y+z\right)+y^2\left(x+y+z\right)+z^2\left(x+y+z\right)-x\left(x+y+z\right)-yz\left(x+y+z\right)-xz\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right)\)tới đây rút gọn đc rồi chứ
