K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 10 2021

Lời giải:

Với $x,y$ dương thì $\frac{2x+2y}{xy+2}$ nếu nhận giá trị nguyên thì là nguyên dương 

$\Rightarrow 2x+2y\geq xy+2$

$\Leftrightarrow (x-2)(y-2)-2\leq 0(*)$

Nếu $x,y> 4$ thì $(*)$ không thể xảy ra. Do đó tồn tại ít nhất 1 số trong 2 số $\leq 4$

Giả sử $y=\min (x,y)$.

Nếu $y=1$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$ nguyên khi $x+2$ là ước của $2$. Mà $x+2\geq 3$ với mọi $x$ nguyên dương nên TH này loại

Nếu $y=2$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+4}{2x+2}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $1$. Mà $x+1\geq 2$ nên TH này cũng loại nốt.

Nếu $y=3$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=x-2-2=x-4$

$\Rightarrow 4\geq x$. Vì $x\geq y$ nên $x=3$ hoặc $x=4$. Thay vô phân thức ban đầu ta có $(x,y)=(4,3)$ thỏa mãn

Nếu $y=4$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=2(x-2)-2$

$\Rightarrow x\leq 3$. Mà $x\geq y$ nên loại.

Vậy $(x,y)=(4,3)$ và hoán vị $(3,4)$