Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có: \((x+y)^3=xy(3x+3y+2)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)=3xy(x+y)+2xy\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3=2xy\)
Nếu trong hai số $x,y$ tồn tại số bằng $0$ thì \(\sqrt{1-xy}=1\in\mathbb{Q}\)
Nếu cả hai số $x,y$ đều khác $0$
Chia cả hai vế cho $xy$ ta thu được:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}+2xy=4\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}-2xy=4-4xy\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)^2=4(1-xy)\)
\(\Leftrightarrow 1-xy=\left(\frac{x^2}{2y}-\frac{y^2}{2x}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\frac{x^2}{2y}-\frac{y^2}{2x}|\in \mathbb{Q}\) do \(x,y\in\mathbb{Q}\)
Ta có đpcm.
Đẳng thức đã cho tương đương với
\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)
Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh
a.
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
b.
\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp
Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp
Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)
Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc
\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)
\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ
Vậy
Câu số 1b đề thi hsg
Chào anh từ huyện Cao Lãnh
