Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này thuộc loại nổi tiếng lắm
\(VT.\left(x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}}\)
Ta lại có:
\(\sqrt{x}\sqrt{x^3+8xyz}+\sqrt{y}\sqrt{y^3+8zx}+\sqrt{z}\sqrt{z^3+8xyz}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3+24xyz\right)}\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge x^3+y^3+z^3+24xyz\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
IMO 2001!Vô số cách giải! Ở đây mình đưa ra $5$ cách khác.
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx}} +\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \geqq 1$$
Theo AM-GM$:$ \(\begin{align*} \text{LHS} &=\sum\limits_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} =\sum\limits_{cyc} \frac{x(x+y+z)}{\sqrt{(x^2+8yz)(x+y+z)^2}}\\&\geqq 2\sum\limits_{cyc} \frac{x(x+y+z)}{(x^2+8yz)+(x+y+z)^2} \geqq 1 \end{align*}\)
Bất đẳng thức cuối tương đương với $$\frac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \left( 8\,{x}^{3}y+31\,{x}^{2}{y}^{2}+8\,x{y}^{3}+202\,x{y}^{2}z+262
\,xy{z}^{2}+202\,x{z}^{3}+79\,{z}^{4} \right) \left( x-y \right) ^{2}
\geqq 0$$
Xong!
Cách 2: Dùng bổ đề do NguyenHuyen_AG đề xuất$:$
$${\frac {a}{\sqrt {a^{2} + 8bc}}}\geqq {\frac {a(5a + 2b + 2c)}{5\left(a^2 + b^2 + c^2\right) + 4(bc + ca + ab)}}.$$
Việc chứng minh bổ đề này tương đối đơn giản$,$ bạn có thể tự làm.
Cách 3: Chứng minh theo trình tự$:$ $$\sum_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8xy}}\geq\sum_{cyc}\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+z^{\frac{4}{3}}}=1$$
Cách 4: Dùng Holder (cách này khá quen thuộc)
Cách 5$:$ Dùng phương pháp phản chứng.
2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}\)
\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}\)
Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :
\(\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}\)(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z\)
\(\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)\)
\(\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1\)
\(=82\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{82}\cdot P\ge82\)
\(\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\)
\(=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\)
\(=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)\)
\(\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=9\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(P=\sum\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}=\sum\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}\ge\sum\frac{2x^2}{x^2-x+6}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}-1+1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)-12}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}+1=\frac{\left(x+y+z-3\right)\left(x+y+z+4\right)}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}+1\)
Do \(x+y+z-3\ge0\Rightarrow P\ge1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
