K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 3 2021

\(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

20 tháng 3 2021

sau 12(1√yz+1√zx+1√xy)≤12(1x+1y+1z)=3/2 vậy ạ

8 tháng 8 2021

? cho a,b,c tìm x,y,z là seo?

8 tháng 8 2021

chắc đề cho x+y+z=1

\(=>\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=>\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

làm tương tự với \(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}},\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)

\(=>A\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=`/3

NV
13 tháng 11 2018

Với a; b dương, nếu \(a\ge b\) thì \(\dfrac{1}{a}\le\dfrac{1}{b}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số vế trái ta được:

\(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+xz}+\dfrac{1}{z^2+xy}\le\dfrac{1}{2x\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{2y\sqrt{xz}}+\dfrac{1}{2z\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{yz}}{2xyz}+\dfrac{\sqrt{xz}}{2xyz}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2xyz}=\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{2xyz}\)

Tiếp tục dùng Cô-si cho tử số:

\(VT\le\dfrac{\dfrac{y+z}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{x+y}{2}}{2xyz}=\dfrac{x+y+z}{2xyz}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Với a,b,c dưog thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1+y^3}+\sqrt{1+z^3}}\)

\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}< =\dfrac{2+x^2}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=2

=>\(P>=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2+6}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+6}\)

Đặt t=(x+y+z)^2(t>=36)

=>P>=2t/t-6

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\dfrac{t}{t+6}\left(t>=36\right)\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{6}{\left(t+6\right)^2}>=0,\forall t>=36\)

=>f(t) đồng biến

=>f(t)>=f(36)=6/7

=>P>=12/7

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2

14 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).

Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).

Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).

Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)

Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).

Vậy...

 

 

 

17 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.

Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.

Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412

⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.

Mà xyz≤(x+y+z)327=18

Nên  (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258 

⇒P≥152.

14 tháng 7 2021

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{2}{\sqrt{yz}}+\dfrac{2}{\sqrt{zx}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}-\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{2}{\sqrt{yz}}+\dfrac{2}{\sqrt{zx}}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{2}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{z}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z\)

23 tháng 5 2023

 Trước hết, ta đi chứng minh một bổ đề sau: Nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Thật vậy, ta phân tích 

 \(P=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(P=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(P=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(P=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).

Hiển nhiên nếu \(a+b+c=0\) thì \(P=0\) hay \(a^3+b^3+c^3=3abc\), bổ đề được chứng minh.

Do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) nên áp dụng bổ đề, ta được \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\).

Vì vậy \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}\) \(=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\) \(=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\). Ta có đpcm