Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
tôi mong các bn đừng làm như vậy nha
Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
CM BĐT là đúng: ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=> \(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2\right)\ge0\)
<=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\frac{\left(a-c\right)^2}{ac}\ge0\) (luôn đúng với mọi x,y,z > 0)
Khi đó: A = \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{9}{\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2}\)
<=> A \(\ge\frac{9}{x^2+2x+1+y^2+2y+1+z^2+2z+1}=\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2\left(x+y+z\right)+3}\)
Áp dụng bdt cosi cho bộ ba số dương x2, y2 và z2 ; x, y và z (vì x,y,z > 0)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3\) (vì xyz = 1)
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> \(2\left(x+y+z\right)\ge6\)
=> \(x^2+y^2+z^2+2\left(x+y+z\right)+3\ge3+6+3=12\)
hay A \(\ge\)12
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy MinA = 12 khi x = y = z = 1
Xin lỗi cô k nhầm!
Bài của em dòng thứ 10 bắt đầu áp dụng cô si là sai rồi. Bị ngược dấu và đáp án cũng không đúng.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM t có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge4\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)(1)
Tương tự t có: \(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)(2)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(3)
Từ (1); (2); (3) t có:
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+\frac{x+z}{4}\right)+\left(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\right)\ge x+y+z\)
Từ x + y + z \(\ge\) 4, t có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có: P >=(x+y+z)^2/(x+y+z)=(x+y+z)/2=2
đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=4/3
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Ta có: \(P=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{4}{yz+zx}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)z}=\frac{4}{\left(1-z\right)z}=\frac{4}{-z^2+z}=\frac{4}{\left(-z^2+z-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{4}{-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}\ge\frac{4}{\frac{1}{4}}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=y\\\left(z-\frac{1}{2}\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy Min(P) = 16 khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
mình chưa học BĐT Cauchy nên ko hiểu bài cho lắm