Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: x + y + z = 0
=> x = -y - z
=> x2 = (-y - z)2
=> x2 = y2 + 2yz + z2
=> x2 - y2 - z2 = 2yz
CMTT: y2 = x2 + 2xz + z2 => y2 - z2 - x2 = 2xz
z2 = x2 + 2xy + y2 => z2 - x2 - y2 = 2xy
Khi đó, ta có:M = \(\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}\)
M = \(\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)-3xy\left(x+y\right)+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+x^2\right]-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)(do x + y + z = 0)
M = \(\frac{-3xy.z}{2xyz}=-\frac{3}{2}\) (do x + y = -z)
Sửa lại kq M = 3/2 (thay dòng cuối) (-3xy.z --> -3xy(-z)) n/b
- Với xyz \(\ne\) 0 ta có:
x + y + z = 0 \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y+z=-x\\x+y=-z\\x+z=-y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}(y+z)^2=(-x)^2\\(x+y)^2=(-z)^2\\(x+z)^2=(-y)^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y^2+2yz+z^2=x^2\\x^2+2xy+y^2=z^2\\x^2+2xz+z^2=y^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y^2+z^2-x^2=-2yz\\x^2+y^2-z^2=-2xy\\x^2+z^2-y^2=-2xz\end{cases}}\)
Thay vào P ta được:
P=\(\frac{1}{-2yz}\)\(+\)\(\frac{1}{-2xy}\)\(+\)\(\frac{1}{-2xz}\)\(=\)\(\frac{-x}{2xyz}\)\(+\)\(\frac{-z}{2xyz}\)\(+\)\(\frac{-y}{2xyz}\)\(=\)\(\frac{-(x+y+z)}{2xyz}\)\(=\)0 \((x+y+z=0)\)
Vậy với \(x+y+z=0\)và \(xyz\ne0\)thì \(P=0\)
\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\\ =\frac{x}{y-z}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\\ =\frac{x}{\left(y-x\right)^2}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right).\frac{1}{y-x}=\frac{-xy+y^2-z^2+xz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(1\right)\)
Tự làm với 2 phân thức còn lại, ta có:
\(\frac{y}{\left(z-x\right)^2}=\frac{-x^2+z^2+xy-yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(2\right)\)
\(\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=\frac{x^2-y^2-xz+yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(3\right)\)
Cộng 3 vế lại với nhau ta có: \(Q=\frac{x}{\left(y-x\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
\(x+y+z=0\) => \(x+y=-z\) => \(\left(x+y\right)^2=z^2\)
=> \(x^2+2xy+y^2=z^2\)
=> \(z^2-x^2-y^2=2xy\)
Tương tự:
\(x^2-y^2-z^2=2yz\)
\(y^2-z^2-x^2=2zx\)
Thay vào tính M ta có:
\(M=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+\frac{z^2}{2xy}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\) (*)
Ta lại có: x + y + z = 0
=> x + y = -z => \(\left(x+y\right)^3=-z^3\)
=> \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(-z\right)\) (vì x + y = -z)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thay vào (*) ta có:
\(M=\frac{1}{2}\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Ta có
\(x+y+z+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(x+\frac{x^2}{y+z}+y+\frac{y^2}{z+x}+z+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}=1\)
Vì x+y+z=0=>x=-y-z;y=-x-z;z=-x-y
\(\Rightarrow\)\(\frac{x^2}{y^2+z^2-\left(y+z\right)^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2-\left(x+z\right)^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2-\left(x+y\right)^2}\)
\(=\frac{x^2}{y^2+z^2-y^2+2yz+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2-x^2+2xz+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2-x^2+2xy+y^2}\)
\(=\frac{x^2}{2z^2+2yz}+\frac{y^2}{2x^2+2xz}+\frac{z^2}{2y^2+2xy}\)
Vì \(x+y+z=0\Rightarrow x=-y-z;y=-x-z;z=-x-y\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2+z^2-\left(y+z\right)^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2-\left(x+z\right)^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2-\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2+z^2-y^2+2yz+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2-x^2+2xz+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2-x^2+2xy+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{2z^2+2yx}+\frac{y^2}{2x^2+2xz}+\frac{z^2}{2y^2+2xy}\)
Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=z^2-2xy\)
Tương tự ta có : \(y^2+z^2=x^2-2yz\)
\(x^2+z^2=y^2-2xz\)
Thay vào biểu thức ta có :
\(A=\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2-y^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}\)
\(=\frac{x^2}{x^2-2yz-x^2}+\frac{y^2}{y^2-2xz-y}+\frac{z^2}{z^2-2xy-z^2}\)
\(=-\frac{x^2}{2yz}-\frac{y^2}{2xz}-\frac{z^2}{2xy}\)
\(=\frac{-x^3-y^3-z^3}{2xyz}=-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
\(=\frac{3xyz}{2xyz}=-\frac{3}{2}\)
Chỗ \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)là do \(x+y+z=0\)nhé, bạn cần chứng minh không ?
Cậu vào phần thống kê câu trả lời của mk ấy, ngay câu đầu tiên
tham khảo nha: Câu hỏi của Nguyễn Thị Phương Thảo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath