Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mình ko biết vì chưa học!!!
Cũng là bạn bè thì chỉ có thể nói:
Chúc cậu may mắn trong khi giải bài toán này!!!
Có ai giúp cậu ấy nha!!!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt\). Khi đó:
a)
\(\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{(bt)^2}{(bt)^2+b^2}=\frac{b^2t^2}{b^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(1)\)
\(\frac{c^2}{c^2+d^2}=\frac{(dt)^2}{(dt)^2+d^2}=\frac{d^2t^2}{d^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
\(\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\left(\frac{bt+dt}{b+d}\right)^2=\left(\frac{t(b+d)}{b+d}\right)^2=t^2(3)\)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(bt)^2+(dt)^2}{b^2+d^2}=\frac{t^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=t^2(4)\)
Từ $(3);(4)\Rightarrow \left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ (đpcm)
Bài 2:
Từ $a^2=bc\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{a}$
Đặt $\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=t\Rightarrow a=ct; b=at$. Khi đó:
a)
$\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{(ct)^2+c^2}{(at)^2+a^2}=\frac{c^2(t^2+1)}{a^2(t^2+1)}=\frac{c^2}{a^2}=(\frac{c}{a})^2=\frac{1}{t^2}(1)$
Và:
$\frac{c}{b}=\frac{a}{tb}=\frac{a}{t.at}=\frac{1}{t^2}(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
$\left(\frac{c+2019a}{a+2019b}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{ct+2019at}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{t(c+2019a)}\right)^2=\frac{1}{t^2}(3)$
Từ $(2);(3)$ suy ra đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
áp dụng dbt cosi cho 2 số:\(\frac{a^3}{b^2}\)va b ta duoc :
\(\frac{a^3}{b^2}\)+a\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^3}{b^2}.a}\)=2\(\frac{a^2}{b}\)
CMTT:\(\frac{b^3}{c^2}\)+b\(\ge\)2\(\frac{b^2}{c}\)
\(\frac{c^3}{a^2}\)+c\(\ge\)2\(\frac{c^2}{a}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)+(a+b+c)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\))
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)) - (a+b+c) (1)
Ap dụng bdt cosi cho các số dương , ta được:
\(\frac{a^2}{b}\)+\(b\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}\)=2a
CMTT: \(\frac{b^2}{c}\)+c\(\ge\)2b
\(\frac{c^2}{a}\)+a\(\ge\)2c
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)+(a+b+c) \(\ge\)2(a+b+c)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)\(\ge\)a+b+c
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) _ (a + b + c ) \(\ge\)0
Do Đó:TỪ (1) ta co : \(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)\(\ge\)(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) )
Xét hiệu hai vế:
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left(a+b+c-b-c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2}{c^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2}{a^2}\ge0\)
BĐT này đúng với mọi a,b,c > 0 nên ta có Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi a =b =c
P/s: Toán 7 gì mà khó thế nhỉ??Mình cũng không chắc đâu nha!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mình chỉ làm bài 1a, và bài 3 thôi nhé,còn lại là bạn tự làm nhé
Bài 1:
a, Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow\left[\frac{a}{b}\right]^2=\left[\frac{c}{d}\right]^2=\left[\frac{a+c}{b+d}\right]^2\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\)
Bài 3 : Sửa đề : Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
CM : a = b = c
Cách 1 : Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
vì \(a+b+c\ne0\)
\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b;\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)
Do đó : \(a=b=c\).
Cách 2 : Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=m\), ta có : \(a=bm,b=cm,c=am\)
Do đó : \(a=bm=m(mc)=m\left[m(ma)\right]\)
\(\Rightarrow a=m^3a\Rightarrow m^3=1(a\ne0)\Rightarrow m=1\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)
Cách 3 : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow1=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cách này xem có đúng không nha bạn
Dự đoán điểm rơi: a=b=c (Để có thể dễ áp dụng AM-GM mà không sai)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\a+c=z\end{cases}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}=\frac{x+z-y}{2y}\\\frac{b}{c+a}=\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}=\frac{x+y-z}{2z}\\\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}=\frac{y+z-x}{2x}\end{cases}}\)
Thế vào:
\(VT=\left(\frac{3}{2}+\frac{x+z-y}{2y}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{x+y-z}{2z}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{y+z-x}{2x}\right)\)
\(=\frac{3y+x+z-y}{2y}\cdot\frac{3z+x+y-z}{2z}+\frac{3x+y+z-x}{2x}\)
\(=\frac{x+z+2y}{2y}\cdot\frac{x+y+2z}{2z}\cdot\frac{y+z+2x}{2x}\)
\(=\frac{x+z+y+y}{2y}\cdot\frac{x+y+z+z}{2z}\cdot\frac{y+z+x+x}{2x}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2z}\cdot4\sqrt[4]{xyz^2}\cdot4\sqrt[4]{x^2yz}}{8xyz}=\frac{64\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{8xyz}=8\)
Vậy suy ra đpcm.
Mik đặt x+z+y+y và x+y+z+z và y+z+x+x ra rồi áp dụng AM-GM cho 4 số thực dương vì lúc đó bất đẳng thức có điểm rơi khi x=y=z hay a=b=c đúng với điểm rơi của Bđt cần CM.
Học tốt! Share thêm bài nha
Chắc ok đấy.Mình đăng lời giải của tạp chí Toán tuổi thơ nha!
Lời giải (chú ý là của tạp chí Toán tuổi thơ chứ không phải của mình)
Ta có: \(\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}=\frac{3b+3c+2a}{2\left(b+c\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\);
\(2\left(\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\left(b+c\right)\right)\ge4\sqrt[4]{\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)^2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và nhân theo vế suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b = b + c = c + a <=> a = b =c