Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này rất đơn giản dùng tính chất quan trọng của số chính phương là:
Một số chính phương khi chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1
Chứng minh bổ đề:
Ta có : a là số nguyên nên a trong ba dạng: 3k ; 3k+1 hoăc 3k+2 với k nguyên
Với a=3k thì \(a^2=9k^2\)chia 3 dư 0
Với a=3k+1 thì \(a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k^2+1\) chia 3 dư 1
Với a=3k+2 thì \(a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k^2+4\) chia 3 dư 1
Bài giải
Ta đặt: \(A=a^3+3a^2+2a+2=a\left(a^2+3a+2\right)+2=\left(a+1\right)\left(a+2\right)a+2\)
Vì a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3
nên a(a+1)(a+2) chia hết cho 3 nên A chia 3 dư 2
Vậy A không là số chính phương
\(\left(\frac{2^2-1}{2^2}\right)\left(\frac{3^2-1}{3^2}\right)\left(\frac{4^2-1}{4^2}\right)...\left(\frac{\left(n-1\right)^2-1}{\left(n-1\right)^2}\right)\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)\)
=\(\frac{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}{2^2}.\frac{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}{3^2}.\frac{\left(4-1\right)\left(4+1\right)}{4^2}...\frac{\left(n-2\right)n}{\left(n-1\right)^2}.\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n^2}\)
=\(\frac{1.3}{2^2}.\frac{2.4}{3^2}.\frac{3.5}{4^2}...\frac{\left(n-2\right).n}{\left(n-1\right)^2}.\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n^2}=\frac{1}{2}.\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\)
