K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NV
1
TN
13 tháng 6 2016
Ta biến đổi 1 tí nhé
\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
Tới đây dễ dàng áp dụng BĐT \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{4}.\frac{1}{a}+\frac{3}{4}.\frac{1}{b}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{b+c}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{b}+\frac{1}{2}.\frac{1}{c}\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{c}\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra
\(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{a}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow Dpcm\)
KC
7
8 tháng 10 2017
a) ta có : \(\left(1-2x\right)\left(x-1\right)-5=x-1-2x^2+2x-5\)
\(=-2x^2+3x-6=-\left(2x^2-3x+6\right)=-\left(\left(\sqrt{2}x\right)^2-2.\sqrt{2}.\dfrac{3}{2\sqrt{2}}x+\left(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2+\dfrac{39}{8}\right)\)
\(=-\left(\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2+\dfrac{39}{8}\right)=-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\)
ta có : \(\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\) \(\Rightarrow-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\le0\) với mọi \(x\)
\(-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\le\dfrac{-39}{8}< 0\) với mọi \(x\)
vậy \(\left(1-2x\right)\left(x-1\right)-5< 0\) (đpcm)
b) ta có : \(-x^2-y^2+2x+2y-3\)
\(=\left(-x^2+2x-1\right)+\left(-y^2+2y-1\right)-1\)
\(=-\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2-2y+1\right)-1=-\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2-1\)
ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge\forall x\\\left(y-1\right)^2\ge\forall y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\\-\left(y-1\right)^2\le0\forall y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2\le0\) với mọi \(x;y\)
\(\Leftrightarrow-\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2-1\le-1< 0\) với mọi \(x;y\)
vậy \(-x^2-y^2+2x+2y-3< 0\) (đpcm)
8 tháng 10 2017
\(a,A=\left(1-2x\right)\left(x-1\right)-5\)
\(=x-1-2x^2+2x-5\)
\(=-2x^2+3x-6\)
\(=-\left(2x^2-3x+\dfrac{9}{8}\right)-\dfrac{39}{8}\)
\(=-\left[\left(\sqrt{2}x\right)^2-2.\sqrt{2}x.\dfrac{3}{2\sqrt{2}}+\left(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\right]-\dfrac{39}{8}\)
\(=-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\)
Ta có :
\(-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\le0\) \(\Rightarrow-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\le-\dfrac{39}{8}\)
Hay A \(\le-\dfrac{39}{8}\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}x=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}:\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(Min_A=-\dfrac{39}{8}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)
NH
0
NS
0
DT
1
7 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)
Mà \(\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow VT=a^3+b^3\ge\dfrac{1}{4}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
TA
2
