K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 8 2016

Đặt \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+........+\frac{1}{2014^2}\)

Đặt A=\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+........+\frac{1}{2014.2015}\)

\(A=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+.....\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\\ =>A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\\ =>A=\frac{2013}{4030}\)

Mà S>A =>S>\(\frac{2013}{4030}\)

9 tháng 12 2019

Ta có: \(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2}\)

Tương tự : \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\); ......... ; \(\frac{1}{2014^2}< \frac{1}{2013.2014}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+........+\frac{1}{2013.2014}\)               

        \(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

        \(=1-\frac{1}{2014}=\frac{2013}{2014}\)

\(\Rightarrow S< \frac{2013}{2014}\left(đpcm\right)\)

9 tháng 1 2017

Bài 2)

Ta có \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow ad< bc\)

Xét \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow ab+ad< ab+bc\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)

Xét \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )

Vậy \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)

Từ (1) (2)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)

10 tháng 1 2017

\(A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}}{2013+\frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}}\)

Đặt \(B=2013+\frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}\)

\(=\left(2013-2013\right)\left(\frac{2013}{2}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2014}+1\right)\)

\(=0+\frac{2015}{2}+\frac{2015}{3}+...+\frac{2015}{2014}\)

\(=2015\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}\right)\)

Thay B vào A ta được:

\(A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}}{2015\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}\right)}\)

\(=\frac{1}{2015}\)

Vậy \(A=\frac{1}{2015}\)

NV
5 tháng 11 2019

\(M=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{2013}}+\frac{1}{5^{2014}}\)

\(5M=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{2013}}\)

\(\Rightarrow4M=1-\frac{1}{5^{2014}}< 1\)

\(\Rightarrow M< \frac{1}{4}< \frac{1}{3}\)