Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bc\right)^2}=ac+bc\)
CMTT : \(\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ad+bd\)
Ta có :\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ac+bc+ad+bd=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\)(AM-GM) (abcd=1)
Lại có: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\)
\(=ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\)
\(\ge8\sqrt[8]{\left(abcd\right)^4}=8\)(AM-GM)
Từ đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\ge4+8=12\)
=> ĐPCM. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=1.
\(\left\{{}\begin{matrix}ab+ac+bc+bd+cd+da\ge4\sqrt[6]{ab.ac.bc.bd.cd.da}=6.\sqrt{abcd}=6\\a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4.\sqrt{abcd}=4\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1) cộng (2) => dpcm
bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi
Theo giả thiết \(a^2+b^2+c^2+d^2=1\Rightarrow0< a,b,c,d< 1\)
Ta có: \(2\left(1-a\right)\left(1-b\right)=2-2\left(a+b\right)+2ab=a^2+b^2+c^2+d^2+1\)\(-2a-2b+2ab-2cd+2cd=\left(a+b-1\right)^2+\left(c-d\right)^2+2cd\ge2cd\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge cd\)(*)
Tương tự ta có: \(\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge ab\)(**)
Nhân theo từng vế cùng chiều của hai BĐT (*) và (**), ta được: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge abcd\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
