Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(cos2A+cos2B-cos2C\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)-2cos^2C+1\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow-cos\left(C\right).cos\left(A-B\right)-cos^2C\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow4cos^2C+4cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2\left(A-B\right)+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosC+cos\left(A-B\right)\right)^2+sin^2\left(A-B\right)\ge0\)(đúng)
Ta có ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)
\(cosA=\sqrt{cosA^2}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}}\le\frac{\frac{AF}{AC}+\frac{AE}{AB}}{2}\)(BDT AM-GM)
Tương tự ta có:
\(cosB\le\frac{\frac{BE}{BA}+\frac{BD}{BC}}{2};cosC\le\frac{\frac{CD}{CB}+\frac{CF}{CA}}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{CF+AF}{AC}+\frac{AE+BE}{AB}+\frac{BD+DC}{BC}}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Cách khác
CHo Tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác
Đặt x1=MA;x2=MB;x3=MC và p1;p2;p3 lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB tương ứng. Khi đó ta có BĐT \(x_1+x_2+x_3\ge2\left(p_1+p_2+p_3\right)\)
Vận dụng giải bài trên:
Gọi O,R là tâm và bán kính đg tròng ngoại tiếp Tam giá ABC
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BC,CA
Dễ thấy \(^{\widehat{A}=\widehat{MOB}}\).Do đó:
\(cosA=cos\left(\widehat{MOB}\right)=\frac{OM}{OB}=\frac{OM}{R}\)
tương tự \(cosB=\frac{ON}{R};cosC=\frac{OP}{R}\)
Do đó \(cosA+cosB+cosC=\frac{OM+ON+OP}{T}\le\frac{1}{2}\left(\frac{OA+OB+OC}{R}\right)=\frac{3}{2}\) (BĐT erdos-mordell )
Dấu "=" khi tam giác ABC đều
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
có cần rườm rà thế ko bn? mk chỉnh đề nhé
cho ΔABC cân tại A. trung truyến BM,CN cắt nhau tại I. CMR AI là p/g ∠BAC
vì BM và CN là 2 trung truyến của 1 Δ và cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm ΔABC => AI là trung tuyến mà ΔABC cân tại A nên AI là p/g ∠BAC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của AC, BC với (I).
Đặt \(AD=AE=a;BD=BF=b;CE=CF=c\)
Vì \(CA.CB=2DA.DB\left(gt\right)\)\(\Rightarrow\left(c+a\right)\left(c+b\right)=2ab\Rightarrow c^2+bc+ac+ab=2ab\Rightarrow c^2+bc+ac=ab\)
\(\Rightarrow2c^2+2bc+2ac=2ab\Rightarrow c^2+2bc+b^2+c^2+2ac+a^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(c+b\right)^2+\left(c+a\right)^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow BC^2+AC^2=AB^2\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại C theo định lí Pytago đảo.
Vậy ta có đpcm.