Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-...-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3A=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3A+A=1+\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{-2}{3^2}+\frac{3}{3^2}\right)+\left(\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^3}\right)+...+\left(\frac{-98}{3^{98}}+\frac{99}{3^{98}}\right)+\left(\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow4A=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}-...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3.4A=3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3.4A+4A=3+\left(1-1\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^2}\right)+...+\left(\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{98}}\right)-\frac{101}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow16A=3-\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< 3\Rightarrow A< \frac{3}{16}< \frac{3}{4}\)
Ta có công thức tổng của dãy số hình thành bởi lũy thừa của một số là:
S = a(1 - r^n)/(1 - r),
trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.
Áp dụng công thức trên vào bài toán của chúng ta, ta có:
a = 5, r = 5 và n = 99.
Thay các giá trị vào, ta có:
S = 5(1 - 5^99)/(1 - 5).
Tuy nhiên, để xác định xem S có chia hết cho 31 hay không, ta cần tính S modulo 31.
Ta biết rằng nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m), thì a + c ≡ b + d (mod m) và a * c ≡ b * d (mod m).
Áp dụng tính chất này vào công thức trên, ta có:
S ≡ 5(1 - 5^99)/(1 - 5) ≡ 5(1 - 5^99)/(-4) ≡ -5(1 - 5^99)/4 (mod 31).
Tiếp theo, ta cần xác định giá trị của 5^99 modulo 31.
Ta biết rằng nếu a ≡ b (mod m), thì a^n ≡ b^n (mod m).
Áp dụng tính chất này vào bài toán của chúng ta, ta có:
5^99 ≡ (5^3)^33 ≡ 125^33 ≡ 4^33 (mod 31).
Tiếp tục, ta có thể tính giá trị của 4^33 modulo 31 bằng cách sử dụng phép lũy thừa modulo:
4^1 ≡ 4 (mod 31), 4^2 ≡ 16 (mod 31), 4^3 ≡ 2 (mod 31), 4^4 ≡ 8 (mod 31), 4^5 ≡ 1 (mod 31).
Do đó, ta có:
4^33 ≡ 4^5 * 4^4 * 4^4 * 4^4 * 4^4 * 4^4 * 4 ≡ 1 * 8 * 8 * 8 * 8 * 8 * 4 ≡ 4096 ≡ 1 (mod 31).
Vậy, chúng ta có:
S ≡ -5(1 - 5^99)/4 ≡ -5(1 - 1)/4 ≡ 0 (mod 31).
Kết quả là tổng A chia hết cho 31.
\(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\)\(...\frac{99}{100}=\frac{1.2.....99}{2.3.....100}=\frac{1.\left(2.....99\right)}{\left(2.3.....99\right).100}=\frac{1}{100}\)
S=1-2+3-4+...+99-100
S=(1-2)+(3-4)+...+(99-100)
S=(-1)+(-1)+...+(-1)
=>S=(-1).50
S=-50
\(\frac{101+100+99+98+...+3+2+1}{101-100+99-98+...+3-2+1}\)
\(=\frac{\frac{101.102}{2}}{51}\)
\(=101\)
\(S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\)
\(\Rightarrow2S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)
\(\Rightarrow2S=1-\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow S=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}\)
Đặt \(S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+......+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+.......+\frac{1}{3^{98}}\)
\(\Rightarrow3S-S=\left(1+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{3^{99}}\right)\)
\(\Rightarrow2S=1-\frac{1}{3^{99}}\Rightarrow S=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}=\frac{\frac{3^{99}-1}{3^{99}}}{2}=\frac{3^{99}-1}{3^{99}.2}\)
