Question

[Lê Đình Sinh]

cmr tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 9

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là $a,a+1, a+2$

Tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp:

$a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3a^3+9a^2+15a+9$

$=3(a^3+3a^2+5a+3)$

$=3(a+1)(a^2+2a+3)$

Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a^2+2a+3\vdots 3$

$\Rightarrow 3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$

Nếu $a$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a+2\vdots 3\Rightarrow a(a+2)\vdots 3$

$\Rightarrow a^2+2a+3=a(a+2)+3\vdots 3$

$\Rightarrow 3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$

Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ thì $a+1\vdots 3$

$\Rightarrow 3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$

Từ các TH trên suy ra $a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$ với mọi $a$