Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x^2+2024}=\sqrt{x^2+xy+yz+zx}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+2024}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z^2+2024}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2024}{3}\)
\(M=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\)
\(=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\)
\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2x^2yz-2xyz^2-2x^2yz}{xyz}\)
\(=\frac{0-2xyz\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=0-2\left(x+y+z\right)\)
\(=0-2.\left(-1\right)=0-\left(-2\right)=2\)
Chúc bạn học tốt.
a) xy(x + y) + yz(z + y) + zx(z + x) + 3xyz
= [xy(x + y) + xyz] + [yz(z + y) + xyz] + [zx(z + x) + xyz]
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + zx(x + y + z)
= (xy + yz + zx)(x + y + z)
b) Vô câu hỏi tương tự
a) xy(x + y) + yz(z + y) + zx(z + x) + 3xyz
= [xy(x + y) + xyz] + [yz(z + y) + xyz] + [zx(z + x) + xyz]
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + zx(x + y + z)
= (xy + yz + zx)(x + y + z)
b) tương tự
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
Khi đó P=1.1+1.1+1.1=3
Ta đã từng chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
CM như sau: Nhân hai vế cho 2 được \(2x^2+2y^2+2z^2\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=12\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge12^2=144\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\) (1)
Mặt khác: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\) (2)
Cộng vế theo vế ta được: \(2\left(x^4+y^4+z^4\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge144\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge48\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=2
Vậy Mmin = 48 <=> x=y=z=2
có trong nÂNG CAO PHÁT TRIỂN ĐÓ BẠN