Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài toán này có hai cách giải:
Cách 1: Thu gọn từng phương trình ta sẽ thu được phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Cách 1:
(hệ số của y bằng nhau nên ta trừ từng vế hai phương trình)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
(Nhân hai vế pt 1 với 2; pt 2 với 3 để hệ số của y đối nhau)
(Hệ số của y đối nhau nên ta cộng từng vế của hai pt)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -1).
Cách 2:
a) Đặt x + y = u và x – y = v (*)
Khi đó hệ phương trình trở thành
Thay u = -7 và v = 6 vào (*) ta được hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
b) Đặt x – 2 = u và y + 1 = v.
Khi đó hệ phương trình trở thành :
+ u = -1 ⇒ x – 2 = -1 ⇒ x = 1.
+ v = 0 ⇒ y + 1 = 0 ⇒ y = -1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; -1).
e: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{y}=3\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{y}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-7}{y}=-2\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{7}{2}\\\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{2}{7}=\dfrac{9}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{7}{2}\\x=\dfrac{7}{9}\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-2\right)+3\left(1+y\right)=2\\3\left(x-2\right)-2\left(1+y\right)=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6\left(x-2\right)+9\left(1+y\right)=6\\6\left(x-2\right)-4\left(1+y\right)=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}13\left(1+y\right)=12\\2\left(x-2\right)+3\left(1+y\right)=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{21}{13}\\y=-\dfrac{1}{13}\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-5\right)\left(y-2\right)=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\\\left(x-4\right)\left(y+7\right)=\left(x-3\right)\left(y+4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy-2x-5y+10=xy-x+2y-2\\xy+7x-4y-28=xy+4x-3y-12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-7y=-12\\3x-y=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-7y=-12\\21x-7y=112\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}22x=124\\3x-y=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{62}{11}\\y=\dfrac{10}{11}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-5\right)\left(y-2\right)=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\\\left(x-4\right)\left(y+7\right)=\left(x-3\right)\left(y+4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy-2x-5y+10=xy-x+2y-2\\xy+7x-4y-28=xy+4x-3y-12\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+7y=12\\3x-y=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+21y=36\\3x-y=16\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}22y=20\\x+7y=12\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{62}{11}\\y=\dfrac{10}{11}\end{matrix}\right.\)
a: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4y=-11\\5x-4y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x=-10\\x+4y=-11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-5}{3}\\y=\dfrac{-11-x}{4}=\dfrac{-11+\dfrac{5}{3}}{4}=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
b: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=7\\3x+5y=-22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-3y=21\\6x+15y=-66\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-18y=78\\2x-y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-13}{3}\\x=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
\(a,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{y}=2\\\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}=5\end{matrix}\right.\left(x,y\ne0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{5}{y}=3\\\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{5}{3}\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{9}{5}=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{8}\\y=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
\(b,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{60}{x}-\dfrac{28}{y}=36\\\dfrac{60}{x}-\dfrac{135}{y}=525\end{matrix}\right.\left(x,y\ne0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}=35\\-\dfrac{163}{y}=489\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}-27=35\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{31}\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
a: Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1\\\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{y}=2\\\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}=-3\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-1}{3}\\\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{y}=1+\left(-3\right)=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\left(1\right)\\\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1+x^2-y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\\xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y\left(x-y\right)+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y}=\dfrac{x-y}{-xy}\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\dfrac{y+\dfrac{1}{x^2+y^2+1}}{\sqrt{xy+\dfrac{x-y}{x^2+y^2+1}}+y}+xy\right]=0\Leftrightarrow x=y\).
Thay x = y vào (2) ta có \(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|=1\). (*)
Ta có \(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|=\left|y-1\right|+\left|2-y\right|\ge y-1+2-y=1\).
Mà đẳng thức xảy ra ở (1) nên ta phải có \(1\le y\le2\). (TMĐK)
Vậy pt đã cho có vô số nghiệm \(x=y=k\) với \(1\le k\le2\)
Sao VP (1) bạn biến đổi từ \(\sqrt{y}-\sqrt{x}\) ra \(\dfrac{x-y}{-xy}\) được vậy?
Ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2=1\\2x^3+6xy^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2y^2=1-2x^2\left(1\right)\\2x^3+6xy^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)
Dễ thấy \(y=0\) không là nghiệm nên thế (1) và (2) ta có : \(2x^3+3.x.\left(1-2x^2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4x^3-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
+) Với \(x=-1\) thì ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(-1\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(-1+y\right)^3+\left(-1-y\right)^3=1\end{cases}}\) ( Vô nghiệm )
+) Với \(x=\frac{1}{2}\) thì ta có : \(\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=\pm\frac{1}{2}\). Thỏa mãn hệ phương trình.
Vậy hệ pt có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left\{\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}\)
\(a.\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}-2=-1\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{y}-2=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b-2=-1\\4a+3b-2=5\end{matrix}\right.\) (với \(\dfrac{1}{x}=a-\dfrac{1}{y}=b\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{10}{7}\\b=\dfrac{3}{7}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{7}\Rightarrow x=\dfrac{7}{10}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow y=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
\(b.\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)}=2\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{\left(x+y\right)}=\dfrac{17}{10}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+5b=2\\3a+b=\dfrac{17}{10}\end{matrix}\right.\) (với \(\dfrac{1}{x}=a-\dfrac{1}{x+y}=b\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=2\\\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow y=3\end{matrix}\right.\)
\(c.\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{y+1}=7\\\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{2}{y+1}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=7\\5a-2b=4\end{matrix}\right.\) (với \(\dfrac{1}{x-1}=a-\dfrac{1}{y+1}=b\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-1}=2\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y+1}=3\Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(d.\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{y-1}}=1\\\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y-1}}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-b=1\\a+b=2\end{matrix}\right.\) (với \(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=a-\dfrac{1}{\sqrt{y-1}}=b\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=1\Rightarrow x=2\\\dfrac{1}{\sqrt{y-1}}=1\Rightarrow y=2\end{matrix}\right.\)
Đk: \(y\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2-\dfrac{x}{y}=1\\\dfrac{x}{y}-2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2+\dfrac{x}{y}=\dfrac{x}{y}-2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2+2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{y}=0\\x+\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x+\dfrac{1}{y}=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{y}=-x\) thay vào pt dưới ta được:
\(-x^2=-1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=-1\\x=-1\Rightarrow y=1\end{matrix}\right.\)
TH2: \(x+\dfrac{1}{y}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{y}=2-x\) thay vào pt dưới ta được:
\(\left(2-x\right)x-2.2=-1\)\(\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\left(vn\right)\)
Vậy (x;y)=(-1;1);(1;-1)
gợi ý \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2-\dfrac{x}{y}=1\left(1\right)\\\dfrac{x}{y}-2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Đem \(\left(1\right)+\left(2\right):\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2-2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=0\)
đến đây chắc bạn có thể tự làm được
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 0)