K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 3 2016

Điều kiện x,y dương.

Từ phương trình thứ nhất suy ra 

\(y=30-x\)

Thế vào phương trình thứ 2 ta được :

\(\ln x+\ln\left(30-x\right)=3\ln6\)

\(\Leftrightarrow\ln x\left(30-x\right)=\ln6^3\)

Suy ra x=18 hoặc x=12

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm

(18;12) và (12;18)

30 tháng 3 2016

Lấy Logarit cơ số 2 cả 2 vế của 1 phương trình, ta có :

\(\begin{cases}x+y\log_23=2+\log_23\\x\log_23+y=1+2\log_23\end{cases}\)

Đây là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y. Nhân cả 2 vế của phương trình thứ nhất với \(\log_23\) rồi trừ cho phương trình thứ 2, ta được

\(y\left(\log^2_23-1\right)=\log^2_23-1\)

=> y=1

Dễ dàng suy ra x=2

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là (2;1)

30 tháng 3 2016

Từ phương trình thứ nhất ta có : \(y=x-2\)

Thay vào phương trình thứ 2, ta được :

\(3^{x^2+x-2}=3^{-2}\)

Do đó

\(x^2+x-2=-2\) nên \(x=0\) hoặc \(x=-1\) 

Suy ra \(y=-2\) hoặc \(y=-3\)

Vậy hệ có 2 nghiệm là \(\left(0;-2\right)\) và \(\left(-1;-3\right)\)

30 tháng 3 2016

Đặt \(\begin{cases}u=9^{\sin x}\\v=-9^{2\cot x}\end{cases}\) (u>0, v<0)

Hệ trở thành 

\(\begin{cases}u+v=2\\u.v=-3\end{cases}\)

Khi đó u, v là nghiệm của phương trình \(t^2-2t-3=0\)

Phương trình này có 2 nghiệm t=-1 và t=3.

Vì u>0, v<0 nên v=3, v=-1

Thay lại ta được\(\begin{cases}9^{\sin y}=3\\-9^{2\cot x}=-1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sin y=\frac{1}{2}\\\cot x=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}\begin{cases}y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{cases}\\x=\frac{\pi}{2}+l\pi\end{cases}\) (\(k,l\in Z\))

30 tháng 3 2016

Điều kiện  \(x>0.y>0,y\ne1\) 

Với điều kiện này thì phương trình thứ nhất tương đương với \(x=y^2\)

Thế vào phương trình thứ 2 ta được :

 \(\log_2y=\log_yy^2\Leftrightarrow y=4\)

Suy ra x=16.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (16;4)

 

30 tháng 3 2016

\(\begin{cases}d\\hfghfghfghfgh\end{cases}\)

30 tháng 3 2016

Điều kiện \(x,y>0,x\ne1,y\ne1\) Hệ tương đương với 

\(\begin{cases}\frac{1}{2}\log_y\left(xy\right)=\log_xy\\2^x+2^y=3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\log_yx+1=\frac{2}{\log_yx}\\2^x+2^y=3\end{cases}\)

Giải phương trình thú nhất ẩn \(t=\log_yx\) ta thu được \(t=1;t=-2\)

Do đó x=y hoặc \(x=\frac{1}{y^2}\)

Với x=y thế vào phương trình 2 ta thu được \(x=\log_2\frac{3}{2}\)

Với \(x=\frac{1}{y^2}\), thế vào phương trình 2 ta được :

\(2^y+2^{\frac{1}{y^2}}=3\left(y>0,y\ne1\right)\)

Phương trình này vô nghiệm, thật vậy :

+ Nếu \(y>1\) thì \(2^y>2\) và \(2^{\frac{1}{y^2}}>2^o=1\) suy ra vế trái >2=VP

+ 0<y<1 thì \(2^y>1\)và \(2^{\frac{1}{y^2}}>2^1=2\) suy ra vế trái >2=VP

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(\log_2\frac{3}{2};\log_2\frac{3}{2}\right)\)

30 tháng 3 2016

Trừ hai phương trình theo vế, ta được :

\(2^x+3x=2^y+3y\)

Xét hàm số : \(f\left(t\right)=2^t+3t\)

Dễ thấy f(t) đồng biến trên R

Do đó, từ \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\) suy ra x=y. 

Thay vào phương trình thứ nhất la được :

\(2^x=3-x\)

Phương trình này có nghiệm duy nhất x=1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

30 tháng 3 2016

Điều kiện x, y dương. Hệ phương trình tương đương với hệ :

\(\begin{cases}\log_2\left(x+3\right)=2\left(1+\log_3y\right)\\2\left(1+\log_3x\right)=\log_2\left(y+3\right)\end{cases}\) (*)

Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ (*) ta có :

\(\log_2\left(x+3\right)+2\log_3x=\log_2\left(y+3\right)+2\log_3y\)

Xét hàm số :

\(f\left(t\right)=\log_2\left(t+3\right)+2\log_3t\) trên miền \(\left(0;+\infty\right)\).

Dễ thấy hàm số luôn đồng biến trên  \(\left(0;+\infty\right)\)., mà \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\) nên \(x=y\).

Thay vào một trong hai phương trình của hệ (*), ta được 

\(\log_2\left(x+3\right)=2\left(1+\log_3x\right)\)

 

hay

\(x+3=2^{2\left(1+\log_3x\right)}=4.2^{\log_3x^2}=4.2^{\log_32.\log_2x^2}=4\left(2^{\log_2x^2}\right)^{\log_32}\)

\(\Leftrightarrow x+3=4.x\log^{\log_34}\)

\(\Leftrightarrow x^{1-\log_34}+3.x^{-\log_34}=4\) (**)

Xét 

\(g\left(x\right)=x^{1-\log_34}+3.x^{-\log_34}\) trên khoảng( \(0:+\infty\)), ta có :

\(g'\left(x\right)=\left(1-\log_34\right)x^{-\log_34}-3.\log_34x^{-1-\log_34}\)

Thấy ngay \(g'\left(x\right)<0\) với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\), do đó \(g\left(x\right)\)nghịch biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

Mặt khác \(g\left(1\right)=4\) vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (**)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (1;1)