Question

[Đen đủi mất cái nik]

giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:

\(xyz=x^2-2z+2\)

Answer 1

[Đen đủi mất cái nik]

Ta có:

\(xyz+2z=x^2+2\Leftrightarrow z=\frac{x^2+2}{xy+2}\)

Do \(z\ge1\Rightarrow x\ge y\)

Xét hiệu: \(xy+2-x+2=\left(x+1\right)\left(y-1\right)+3>0\Rightarrow xy+2>x-y\) (do \(y\ge1\))

Gọi d là ước chung lớn nhất của x và xy+2

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy+2⋮d\\x⋮d\end{cases}}\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Xét d=2. Đặt \(2\left(x-y\right)=k\left(xy+2\right)\) (k là số tự nhiên)

Do x,y là các số nguyên dương và xy+2>x-y nên 2>k

\(\Rightarrow k\in\left\{1;0\right\}\)

Xét k=1 thì \(2\left(x-y\right)=xy+2\Rightarrow\left(x+y\right)\left(2-y\right)=6\)

Do x+y>0 nên 2-y>0 => 0<y<2 =>y=1 =>x=5 thay vào pt đầu ta đk z=27/7 (ko t/m)

Xét k=0 thì:\(x-y=0\Rightarrow x=y\) thay vào pt đầu ta đk z=1 thay z lại tìm đk x=y=1

Xét d=1

Đặt x-y=k(xy+2) (k là số tự nhiên)

Do xy+2>x-y nên k<1 =>k=0

 làm tương tự trên ta tìm đk x=y=z=1

KL

Answer 2

[Full Moon]

Ta có:

\(xyz=x^2-2z+2\)

+) Nếu z = 1 thì :

\(xy=x^2\Rightarrow x=y=k\left(k\inℕ^∗\right)\)

Ta có ( k , k ,1) là một nghiệm của pt

+) Xét \(z\ge2\)

Theo giả thiết ta có:

\(2z-2=x\left(x-yz\right)\Rightarrow\left(2z-2\right)⋮x\Rightarrow2z-2=tx\left(t\in N\right);t=x-yz\)

Laij có: \(t=x-yz\Rightarrow yz=x-t\Rightarrow y=\frac{x-t}{z}=\frac{2\left(x-t\right)}{tx+2}\)

\(\Rightarrow2\left(x-t\right)\ge tx+2\Leftrightarrow\left(2-t\right)x\ge2\left(t+1\right)>0\)( vì x >0)

\(\Rightarrow2-t>0\Rightarrow t=1\)

Khi đó:  \(y=\frac{2\left(x-1\right)}{x+2}=2-\frac{6}{x+2}< 2\)

\(\Rightarrow y=1\Rightarrow x=4;z=3\)

Bn tự KL nhé