Question

[Phạm Xuân Bách]

Tìm 5 chữ số tân cùng của số Fermat F₂₄ = 2^{2^24} + 1 (Casio)

Answer 1

[Trần Phương Thảo]

Bài toán này tương đương với: tìm số dư khi chia $F^{24}=2^{2^{24}}+1chia10^5$

Ta có nhận xét:

1) $2^{2^{n+1}}=2^{2^n}\times 2^{2^n}$

2) $2^{2^n}\equiv a\left(mod10^5\right)\Rightarrow 2^{2^{n+1}}\equiv a^2\left(mod10^5\right)$

Từ đây ta có thể tính đồng dư của $2^{2^n}theo\left(mod10^5\right)$ như sau (tính máy tính)

 $2^{2^1}\equiv 4$   ,  $2^{2^2}\equiv 16$ ,  ,  $2^{2^3}\equiv 256$

 $2^{2^4}\equiv 65536$ , ....... , $2^{2^{24}}\equiv 97536$

Vậy $F^{24}=2^{2^{24}}+1=97536+1$. Năm chữ số cuối cùng $F^{24}=2^{2^{24}}+1$ là 97537

(CHÚ THÍCH : mod là phép chia lấy phần dư ví dụ Cho hai số dương, (số bị chia) a và (số chia) n, a modulo n (viết tắt là a mod n) là số dư của phép chia có dư Euclid của a cho n. Ví dụ, biểu thức "5 mod 2" bằng 1 vì 5 chia cho 2 có thương số là 2 là số dư là 1, ta có thể viết 5$\equiv$1mod2  )

CHO CHỊ XIN 1TÍCH NHA :))