Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì x,y,z là cái số dương nên x,y,z >0
mà x+y+z=3 (=) x=1,y=1,z=1 ( vì x,y,z >0)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right)-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-z=0\\y-z-0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=z\\y=z\end{cases}\Rightarrow}x=y=z=1}\)
Theo BĐT Cosi ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4\cdot y^4}=x^2y^2\\\frac{y^4+z^4}{2}\ge\sqrt{y^4\cdot z^4}=y^2z^2\\\frac{z^4+x^4}{2}\ge\sqrt{z^4\cdot x^4}=x^2z^2\end{cases}\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
chứng minh tương tự: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge3xyz\)(do x+y+z=3)
Do đó: \(x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^4;y^4=z^4;z^4=x^4\\x^2y^2=y^2z^2;y^2z^2=z^2x^2;z^2x^2=x^2y^2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)(1)
mà x+y+z=3 (2)
Từ (1) và (2) => 3x=3 => x=1 => y=z=1
=> \(x^{2018}+y^{2019}+x^{2020}=1+1+1=3\)
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
nên \(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right).z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow^{x+y+z=0}_{x=y=z}\)
Do đó:
\(M=\left(2-\frac{x}{y}\right)^{2013}+\left(3-\frac{2x}{z}\right)^{2014}+\left(4-\frac{3z}{x}\right)^{2015}\)
\(=\left(2-\frac{y}{y}\right)^{2013}+\left(3-\frac{2z}{z}\right)^{2014}+\left(4-\frac{3x}{x}\right)^{2015}\)
\(=\left(2-1\right)^{2013}+\left(3-2\right)^{2014}+\left(4-3\right)^{2015}\)
\(M=1^{2013}+1^{2014}+1^{2015}=1+1+1=3\)
----------------------------------------------------
xy+yz+xz=3xyz
<=> xy+yz+xz/xyz = 3
<=> 1/x + 1/y + 1/z = 3
Do vai trò x ; y ; z như nhau , ko mất tính tổng quát , giả sử
\(x\ge y\ge z\) . Khi đó , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3.\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow3\le3.\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x\le1\)
Mà x nguyên dương nên x = 1
Làm tương tự như vậy , ta có : y = 1 ; z = 1
Vậy ....
Sai rồi bạn , nếu làm như bạn , phải giả sử
z \(\ge y\ge x\)chứ
:v
Gỉa thiết tương đương với \(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)
Đặt \(a=x;b=y;c=\frac{1}{z}\)khi đó bài toán quy về
\(ab^2+a^2c+c^2b=3\)Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
Sử dụng BĐT AM-GM ta có :
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4b^4}=4ab^2\)
Bằng cách chứng minh tương tự ta được :
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\); \(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=4.3=12\)
\(< =>a^4+b^4+c^4+1\ge\frac{12}{3}=4\)
\(< =>a^4+b^4+c^4\ge4-1=3\)
Vậy \(P\le\frac{1}{3}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1< =>x=y=z=1\)
(*) \(x^3-y^3-z^3=3xyz\)\(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\left(y+z\right)\left[\left(y+z\right)^2-3yz\right]\)
Thay \(y+z=\frac{1}{2}x^2\)(*) \(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\frac{x^2}{2}\left(\frac{x^4}{4}-3yz\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{8}-x^3-\frac{3}{2}x^2yz+3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^6-8x^3-12x^2yz+24xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x^3-8\right)-12x\left(x-2\right)yz=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^4-12yz+2x^3+4x^2\right)=0\)
Với mọi \(y>0;z>0\)thì \(\left(y+z\right)^2\ge4yz\)thay \(x^2=2\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow x^4\ge16yz\ge12yz\Rightarrow x^4-12yz\ge0\)
Với mọi x>0 thì \(x^4-12yz+2x^3+4x^2>0\)
Nên (*) \(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)vì \(x>0\)nên \(x=2\)
Thay vào \(x^2=2\left(y+z\right)\)ta được \(y+z=2\)vì y;z nguyên dương nên \(y=1;z=1\)
Thay \(x=2;y=1;z=1\)ta thấy TMĐK đề bài nên nó là nghiệm duy nhất của bài toán.
