Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x^2-y^2+t^2=21\left(1\right)\\x^2+3y^2+4z^2=101\left(2\right)\end{cases}}\)
Cộng (1) và (2) ta có :
\(2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)
\(\Rightarrow2M=122+t^2\ge122\Rightarrow m\ge61\Rightarrow Min_M=61.\)
Khi \(t=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-y^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101\left(3\right)\end{cases}.}\)
Vì x, y nguyên không âm nên :
\(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=21\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=11\\y=10\end{cases}}\)Thế vào (3) ta được \(4z^2=-320\left(loại\right).\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}.}\)Thế vào (3) ta được \(4z^2=64\Leftrightarrow z^2=16\Leftrightarrow z=4\left(z\ge0\right).\)
Vậy ta tìm được \(\left(x,y,z,t\right)=\left(5;2;4;0\right)\)thì \(Min_M=61.\)
cộng vế 2 cái đẳng thức đề cho, đc: \(2x^2+2y^2=122-t^2-4z^2\) \(\Rightarrow x^2+y^2=61-\frac{t^2}{2}-2z^2\)
Thay vào M đc: \(M=61+\frac{t^2}{2}\) (t nguyên ko âm) => Min M = 61 khi t =0
Giải hệ \(\hept{\begin{cases}x^2+3y^2+4z^2=101\\x^2+y^2+2z^2=61\\x^2-y^2=21\end{cases}}\)sẽ ra đc giá trị của x2, y2, z2. nhưng hệ này vô số nghiệm thì phải
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(2\left(2x^2+xy+2y^2\right)=3\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2+1\left(x+y\right)^2=\dfrac{5}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Gợi ý. Dùng cái trên.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lấy (1) cộng (2) ta được
\(\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\\x,y,z,t\in N\end{cases}=>}t=2n\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2n^2=61\)
\(\Rightarrow M=61+2n^2\)
(1) trừ (2)\(\Leftrightarrow y^2+z^2-n^2=20\)
n=0 ; y=2; z=4; x=5
=> Min M =61 khi n=0
(x;y;z;t)=(5;2;4;0)
Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta có:
\(2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)
\(\Rightarrow M=\frac{122+t^2}{2}=61+\frac{t^2}{2}\ge61\forall t\)
=> Min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (1) \(\Rightarrow x^2-y^2=21\)
Hay: \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=21\)
Vì \(x,y,z,t\in N\) nên ta có 2 TH:
TH1:
\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow x=11,y=10}\) (loại vì không thỏa mãn (2) )
TH2:
\(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow x=5,y=2}\)(thỏa mãn)
Thay vào (2) ta được: z = 4
Vậy: Min M = 61 tại x = 5, y = 2, z = 4, t = 0
=.= hk tốt!!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673