K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 8 2017

Ta có \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel

\(A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{y}{y+z}=\dfrac{z}{z+x}\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

4 tháng 8 2017

uk mk nhầm, nó là thế này

\(\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{y}{y+z}=\dfrac{z}{z+x}=\dfrac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\)

Suy ra x=y=z

Thay vào cái \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\) thì tìm đc thôi

NV
22 tháng 12 2020

\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2018

Lời giải:

Để cho gọn đặt \((\sqrt{x}; \sqrt{y}; \sqrt{z})=(a,b,c)\) với \(a,b,c>0\)

Khi đó:

\(A=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ac}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)

\(=\frac{1}{2}(\frac{2bc}{a^2+2bc}+\frac{2ac}{b^2+2ac}+\frac{2ab}{c^2+2ab})\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^2}{a^2+2bc}+1-\frac{b^2}{b^2+2ac}+1-\frac{c^2}{c^2+2ab}\right)\)

\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\underbrace{\left(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\right)}_{M}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(M\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)

\(\Rightarrow A=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}M\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\)

Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 11 2018

Tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)

=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)

17 tháng 7 2018

thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!

17 tháng 1 2021

thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!

NV
12 tháng 8 2021

\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)

\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)

\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)

\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)

\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)

12 tháng 3 2017

solution:

ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)

tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)

\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

13 tháng 3 2017

cái cách 2 là svac mà nhỉ

26 tháng 10 2018

\(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+z}\ge\dfrac{x^2}{x+y+z}+\dfrac{y^2}{x+y+z}+\dfrac{z^2}{x+y+z}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}\right)}{x+y+z}\ge\dfrac{1-2.1}{1}=-1\)Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) , \(x+z\ge2\sqrt{xz}\) , \(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

Cộng vế với vế suy ra:

\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{zx}+\sqrt{yz}\right)\\ \Leftrightarrow x+y+z\ge1\)

Vậy

28 tháng 10 2018

Trà ơi ! Mình xin lỗi bạn nhiều lắm bài đó mình lỡ giải sai, để mình sữa lại cho bạn:

Đầu tiên ta vẫn có:\(x+y+z\ge1\) (chứng minh trên)

Vậy \(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{x^2}{x+y+z}+\dfrac{y^2}{x+y+z}+\dfrac{z^2}{x+y+z}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge x^2+y^2+z^2\ge0\)