Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a ) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge2\\z\ge3\end{cases}}\)
b) Ta có:
\(P=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}y}+\frac{\sqrt{3}\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}z}\)
Áp dụng bbđt AM - GM ta có :
\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{\frac{x-1+1}{2}}{x}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}y}\le\frac{\frac{2+y-2}{2}}{\sqrt{2}y}=\frac{y}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{3}\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}z}\le\frac{\frac{3+z-3}{2}}{\sqrt{3}z}=\frac{z}{2\sqrt{3}z}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}}\)
\(3-2P=\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\)
\(3-2P\ge\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(M\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+y+2\right)}=\sqrt{20}=4\sqrt{5}\)
\(M_{max}=4\sqrt{5}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=y+4\\x+y=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)
Bài toán thiếu điều kiện \(x\ge1;y\ge2;z\ge3\)
Ta có : \(M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{\sqrt{\left(x-1\right).1}}{x}\le\frac{x-1+1}{2x}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{\sqrt{\left(y-2\right).2}}{\sqrt{2}.y}\le\frac{y-2+2}{2\sqrt{2}.y}=\frac{y}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{z-3}}{z}=\frac{\sqrt{\left(z-3\right).3}}{\sqrt{3}z}\le\frac{z-3+3}{2\sqrt{3}z}=\frac{z}{2\sqrt{3}z}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng các bđt theo vế , được : \(M\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}z-3=3\\y-2=2\\x-1=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\) khi và chỉ khi (x;y;z) = (2;4;6)
Viết lại A = \(\frac{\text{ }\sqrt{z-5}}{z}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\)
Ta có : \(\sqrt{5\left(z-5\right)}\le\frac{5+z-5}{2}=\frac{z}{2}\Rightarrow\sqrt{z-5}\le\frac{z}{2\sqrt{5}}\) => \(\frac{z-5}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{5}}\)
tương tự \(\sqrt{y-4}\le\frac{y}{4}\Rightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{4}\)
\(\frac{\sqrt{x-3}}{x}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
=> A \(\le\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Vậy GTLN .... tại x = 6 ; y = 8 ; z = 10
Nhân thêm và, dùng Cauchy
\(1\sqrt{x-1}=\sqrt{1\left(x-1\right)}\le\frac{x}{2}\). Tương tự với y thì nhân 2; với z thì nhân 3
\(\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Ta có: \(\sqrt{x-1}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\frac{\sqrt{y-2}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Suy ra: \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Vậy GTLN của biểu thức = \(\frac{1}{2}.\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
