Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
\(B=\sqrt{4x^4-4x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2+9}\)
\(=\sqrt{\left(2x^2-x-1\right)^2+9}\)\(\ge\sqrt{9}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2x^2-x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(B_{min}=3\)
Có: \(x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3x^3.\dfrac{1}{x^3}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)
Có: \(x^6+\dfrac{1}{x^6}=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^3-3\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\)\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\right]^3-3\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\right]\)
Đặt \(a=x+\dfrac{1}{x}\left(a\ge2\right)\)
\(P=\dfrac{a^6-\left[a^2-2\right]^3+3a^2+4}{a^3+a^3-3a}\)
\(P=\dfrac{-6a^4+15a^2+4}{2a^3-3a}\)
\(\Rightarrow6a^4+2Pa^3-15a^2-3Pa-4=0\)
\(\Rightarrow a^2\left(6a^2+2P+14\right)-\left(14a^2+3Pa+4\right)=0\)
Để pt \(\left\{{}\begin{matrix}6a^2+2P+14\\14a^2+3Pa+4\end{matrix}\right.\) có nghiệm thì
\(\left\{{}\begin{matrix}4P^2-336\ge0\\9P^2-224\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}P\le-2\sqrt{21}\\P\ge2\sqrt{21}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}P\le-\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\\P\ge\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\)
Bài 3:
a) \(\sqrt{3x-2}=4\)
⇔\(\sqrt{3x-2}=\sqrt{4^2}\)
⇔\(3x-2=4^2=16\)
\(3x=16+2=18\)
\(x=18:3=6\)
Vậy \(x=6\)
b)\(\sqrt{4x^2+4x+1}-11=5\)
⇔\(\sqrt{\left(2x\right)^2+2\left(2x\right)\cdot1+1^2}-11=5\)
⇔\(\sqrt{\left(2x+1\right)^2}-11=5\)
TH1:
⇔\(\left(2x+1\right)-11=5\)
\(2x+1=5+11=16\)
\(2x=16-1=15\)
\(x=15:2=7,5\)
TH2:
⇔\(\left(2x+1\right)-11=-5\)
\(2x-1=-5+11=6\)
\(2x=6+1=7\)
\(x=7:2=3,5\)
Vậy \(x=\left\{7,5;3,5\right\}\)
(Câu này mình không chắc chắn lắm)
(Học sinh lớp 6 đang làm bài này)
Bài 4:
a: \(C=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)
\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\)
b: C-6<0
=>C<6
=>\(2\sqrt{x}< 6\)
=>\(\sqrt{x}< 3\)
=>0<=x<9
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0< x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
\(A=\frac{4}{1-x}+\frac{1}{x^2(1-x)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{4}{1-x}+16(1-x)\geq 2\sqrt{4.16}=16$
$\frac{1}{x^2(1-x)}+16x+16x+16(1-x)\geq 4\sqrt[4]{16.16.16}=32$
Cộng theo vế 2 BĐT trên và thu gọn:
$A+32\geq 16+32$
$\Leftrightarrow A\geq 16$
Vậy $A_{\min}=16$ khi $x=\frac{1}{2}$