CM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NX
1
LA
2 tháng 5 2023
Ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = 2xy(x+y)
Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = (x+y)(x^2 + y^2) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS
Vậy ta có:
S^3 - 3PS + S^2 - 2P = 0
S^3 + S^2 - 3PS - 2P = S(S^2 + S - 3P) - 2P = 0
Do đó, ta có:
S^2 + S - 3P = 0
Sử dụng công thức Viết để tính nghiệm của phương trình bậc hai này, ta được:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2 hoặc S = (-1 - sqrt(1 + 12P))/2
Vì x và y là các số thực dương, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương của S, tức là:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2
Tiếp theo, ta có:
K = x^3 + y^3 + 3/(x^2 + y^2) + 2/((x+y)^2)
= S^3 - 3PS + 3/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2S^2/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 + 1 - 2xy))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)(S^3 - 3PS))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(-2S^5 + 10S^3 - 2PS^2 + 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(2S^5 - 10S^3 + 2PS^2 - 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^2 - 6P)/(2S^3 - 10S +
2 tháng 4 2020
Trả lời:
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz ta có:
(3+1)(3x2+y2)≥(3x+y)2
⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2
⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2=12=1⇒4(3x2+y2)≥(3x+y)2=12=1
⇒M=3x2+y2≥14⇒M=3x2+y2≥14
Đẳng thức xảy ra khi x=y=14
2 tháng 4 2020
Ta có: x + y = 1 => y = 1 - x
Khi đó: P = \(x^3+y^3+2x^2y^2=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+2\left(xy\right)^2\)
\(=2\left(xy\right)^2-3xy+1=2\left[\left(xy\right)^2-2.xy.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}\right]-\frac{1}{8}\)
\(=2\left(xy-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{8}\)
\(=2\left[x\left(1-x\right)-\frac{3}{4}\right]^2-\frac{1}{8}\)
\(=2\left[-x^2+x-\frac{3}{4}\right]^2-\frac{1}{8}\)
\(=2\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\right]^2-\frac{1}{8}\ge\frac{3}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
21 tháng 3 2021
Tìm GTLN:
Xét hiệu $2.(x^2+y^2)-(x+y)^2=2.(x^2+y^2)-x^2-y^2-2xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$
Nên $(x+y)^2 \leq 2.(x^2+y^2)=2$ (do $x^2+y^2=1$)
Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-y)^2=0;x^2+y^2=1⇔x=y;x^2+y^2=1⇔x=y=\dfrac{1}{\sqrt[]2}$
Tìm Min:
Có $(x+y)^2 \geq 0$ với mọi $x;y$
Dấu $=$ xảy ra $⇔(x+y)^2=0;x^2+y^2=0⇔x=-y;x^2+y^2=1⇔x=\dfrac{1}{\sqrt[]2};y=-\dfrac{1}{\sqrt[]2}$ và hoán vị
AN
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 7 2021
\(x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)+8xy-16\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y-4\right)+4x^2+4y^2+8xy-16\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y-4\right)+4\left(x+y\right)^2-16\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(x^2+y^2+4x+4y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-4=0\)(vì \(x^2+y^2+4x+4y>0\))
\(\Leftrightarrow y=4-x\).
\(Q=x^2-2x+4y+100=x^2-2x+4\left(4-x\right)+100\)
\(=x^2-6x+116=\left(x-3\right)^2+107\ge107\)
Dấu \(=\)khi \(x=3\Rightarrow y=1\).
NV
0
S
5
30 tháng 12 2019
Tìm min :
Ta có : \(x^2+y^2-xy=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\) ( vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) )
\(\Leftrightarrow\frac{A}{2}\le4\)
\(\Leftrightarrow A\le8\)
30 tháng 12 2019
Tìm max
\(x^2+y^2-xy=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=8+\left(x+y\right)^2\ge8\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{8}{3}\)
