Question

[Minh Ánh]

tìm x,y thuộc N*:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Giả sử \(x,y,z\ge3\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(vô lí vì trái với giả thiết bài toán)

Do đó, một trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số bé hơn 3 , ta giả sử số đó là x

Suy ra : \(x\le y;x\le z\)

Vì \(x\in N^{\text{*}}\)và x < 3 nên x = 1 hoặc x = 2

• Nếu x = 1 thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow y=-z\)(loại vì z là số tự nhiên khác 0)
• Nếu x = 2 thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\Rightarrow2\left(y+z\right)=yz\Rightarrow y\left(2-z\right)-2\left(2-z\right)=-4\)

\(\Rightarrow\left(z-2\right)\left(y-2\right)=4\)

Đến đây , ta xét các trường hợp , được y = z = 4 và y = 3 , z = 6 thỏa mãn .

Vậy : (x;y;z) = (2;3;6) ; (2;4;4)