Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương pháp:
Gọi tọa độ các điểm A, B, C.
Lập phương trình mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz bằng phương trình đoạn chắn.
Từ đó tìm được các điểm A, B, C. Từ đó tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Đáp án C.
Phương pháp:
- Viết phương trình mặt phẳng α .
- Tìm tọa độ giao điểm B, C của α với trục Oy, Oz.
- Tính thể tích khối tứ diện vuông OABC: V = 1 6 . O A . O B . O C .
Cách giải:
Giả sử n → a ; b ; c , a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 là một vecto pháp tuyến của (P).
Vì α đi qua A 2 ; 0 ; 0 nên PTTQ của (P):
a x − 2 + b y − 0 + c z − 0 = 0
⇔ a x + b y + c z − 2 a = 0.
Vì α vuông góc với α nên n → a ; b ; c vuông góc với n 1 → 0 ; 2 ; − 1 .
Khi đó,
0. a + 2. b + − 1 . c = 0 ⇔ c = 2 b
⇒ α : a x + b y + 2 b z − 2 a = 0
d O ; α = 4 3 ⇔ − 2 a a 2 + b 2 + 4 b 2 = 4 3 ⇔ 6 a 2 = 16 a 2 + 5 b 2 ⇔ a 2 = 4 b 2 ⇔ a = 2 b a = − 2 b
Cho
b = 1 ⇒ a = 2 a = − 2 ⇒ n → 2 ; 1 ; 2 n → − 2 ; 1 ; 2 ⇒ α : 2 x + y + 2 z − 4 = 0 α : − 2 x + y + 2 z + 4 = 0
+ ) α : 2 x + y + 2 z − 4 = 0 ⇒ B 0 ; 4 ; 0 , C 0 ; 0 ; 2 ⇒ V O A B C = 1 6 . 2 . 4 . 2 = 8 3
+ ) α : − 2 x + y + 2 z + 4 = 0 ⇒ B 0 ; − 4 ; 0 , C 0 ; 0 ; − 2 ⇒ V O A B C = 1 6 . 2 . − 4 . − 2 = 8 3
Vậy thể tích khối tứ diện OABC là 8 3 .
Đáp án A.
1. Tìm tọa độ tâm I ngoại tiếp tứ diện OABC
Gọi M là trung điểm của AB thì M a 2 ; b 2 ; 0 . Đường thẳng d là trục của nên d đi qua M và nhận vecto chỉ phương k → = 0 ; 0 ; 1
Phương trình tham số của đường thẳng d : x = a 2 y = b 2 z = t t ∈ ℝ .
Gọi N là trung điểm của OC thì N 0 ; 0 ; c 2 .
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của OC nên (P) đi qua M và nhận vecto pháp tuyến là k → = 0 ; 0 ; 1 .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng P : z = c 2 .
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), tức I a 2 ; b 2 ; c 2 .
2. Tìm mặt phẳng (P) là quỹ tích của tâm I và tính d O ; P .
Ta có x I = a 2 ; y I = b 2 ; z I = c 2 ⇒ a = 2 x I b = 2 y I c = 2 z I
Mà a + 2 b + 2 c = 6 nên 2 x I + 2.2 y I + 2.2 z I = 6 ⇔ x I + 2 y I + 2 z I − 3 = 0
Vậy điểm I luôn nằm trên một mp cố định có pt là P : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 .
Vậy d O ; P = 0 + 2.0 + 2.0 − 3 1 2 + 2 2 + 2 2 = 1
Chọn D.
Phương pháp: Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau là tứ diện gần đều.
Cách giải: Theo giả thiết suy ra:
Theo tính chất của tứ diện gần đều tâm mặt cầu ngoại tiếp I của tứ diện ABCD là trung điểm OD