Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Ta có ON cắt BC tại I, I là trung điểm của BC, ON là bán kính ⇒ ON ⊥ BC tại I.
Xét △OCI và △OBI :
\(\hat{OIC}=\hat{OIB}=90^o\left(cmt\right)\)
\(IC=IB\left(gt\right)\)
OI chung.
\(\Rightarrow\Delta OCI=\Delta OBI\left(c.g.c\right)\)
⇒ \(\hat{IOC}=\hat{IOB}\) hay : \(\hat{NOC}=\hat{NOB}\Rightarrow\stackrel\frown{NC}=\stackrel\frown{NB}\)
Mà : \(\hat{NAB}\) hay \(\hat{DAB}\) nội tiếp chắn cung NB, \(\hat{NAC}\) hay \(\hat{DAC}\) nội tiếp chắn cung NC.
Vậy : \(\hat{DAC}=\hat{DAB}\) hay AD là phân giác của góc BAC.
b. \(\hat{MAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).
\(\hat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\) (góc nội tiếp chắn cung AB).
\(\Rightarrow\hat{MAB}=\hat{ACB}\Leftrightarrow\hat{MAB}=\hat{ACM}\)
Xét △MAB và △MCA :
\(\hat{MAB}=\hat{ACM}\left(cmt\right)\)
\(\hat{M}\) chung
\(=> \Delta MAB \backsim \Delta MCA (g.g)\) \(\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Leftrightarrow MA^2=MB.MC\left(a\right)\)
Mặt khác : \(\hat{DAB}=\hat{DAC}\left(cmt\right)\) và \(\hat{DCA}=\hat{MAB}\left(cmt\right)\)
Mà \(\hat{ADM}=\hat{DAC}+\hat{DCA}\) (tính chất góc ngoài của tam giác).
\(\Rightarrow\hat{ADM}=\hat{DAB}+\hat{MAB}\Leftrightarrow\hat{ADM}=\hat{MAD}\)
⇒ △ADM cân tại M ⇒ \(MA=MD\left(b\right)\)
Từ (a), (b) : Vậy : \(MD^2=MB.MC\left(đpcm\right)\)
a.
Do MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow AM\perp OA\Rightarrow\Delta OAM\) vuông tại A
\(\Rightarrow O,A,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Do \(OK\perp BC\Rightarrow\Delta OKM\) vuông tại K
\(\Rightarrow O,K,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM
\(\Rightarrow M,A,O,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Hay tứ giác MAOK nội tiếp đường tròn đường kính OM, với tâm là trung điểm J của OM và bán kính \(R=\dfrac{OM}{2}\)
b.
Do \(AI||BC\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{AKM}\) (so le trong)
Lại có MAOK nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{AOM}\) (cùng chắn cung AM)
\(\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{AOM}\) (1)
Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{AMO}=90^0\) (\(\Delta OAM\) vuông tại A theo c/m câu a)
\(\Rightarrow\widehat{IAK}+\widehat{AMO}=90^0\)
c.
Gọi E là trung điểm AI \(\Rightarrow OE\perp IA\)
Mà \(IA||BC\Rightarrow OE\perp BC\Rightarrow O,E,K\) thẳng hàng
\(\Rightarrow KE\) đồng thời là đường cao và trung tuyến trong tam giác KAI
\(\Rightarrow\Delta KAI\) cân tại K \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{IAK}\) \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{AOM}\) (theo (1))
Mặt khác \(\widehat{AIK}\) và \(\widehat{AOD}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AD của (O)
\(\Rightarrow\widehat{AIK}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOD}\Rightarrow\widehat{AOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOM}+\widehat{MOD}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{MOD}\)
Xét hai tam giác AOM và DOM có:
\(\left\{{}\begin{matrix}OM\text{ chung}\\\widehat{AOM}=\widehat{MOD}\left(cmt\right)\\AO=DO=R\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AOM=\Delta DOM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ODM}=\widehat{OAM}=90^0\)
\(\Rightarrow MD\) là tiếp tuyến của (O)
3
a: OH*OM=OA^2=R^2
b: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI vuông góc với CD
Xét tứ giác OIAM có
góc OIM=góc OAM=90 độ
nên OIAM là tứ giác nội tiếp
c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có
góc HOK chung
Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM
=>OH/OI=OK/OM
=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2
mà CI vuông góc với OK
nên ΔOCK vuông tại C
=>KC là tiếp tuyến của (O)
a: góc KAN=1/2*180=90 độ
ΔOBC cân tại O
mà OH là trung tuyến
nên OH vuông góc BC
góc KAD+góc KHD=180 độ
=>KADH nội tiếp
b: Xét ΔNCB có
NH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔNCB cân tại N
=>góc NBC=góc NCB=góc NAB
=>góc NAB=góc NBD
mà góc ABN chung
nên ΔNAB đồng dạng với ΔNBD
=>NB^2=NA*ND