Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2/ Ta phân tích
ax3 + bx2 + c = (x + 2)[ax2 + (b - 2a)x - 2(b - 2a)] + c + 4(b - 2a) = (x2 - 1)(ax + b) + ax + b + c
Từ đó kết hợp với đề bài ta có hệ
\(\hept{\begin{cases}c+4\left(b-2a\right)=0\\a=1\\b+c=5\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}}\)
Ta có A = (x + y)3 + z3 + kxyz - 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)2 - (x + y)z + z2] + xy(kz - 3x - 3y)
Nhìn vào cái này ta dễ thấy là để A chia hết cho x + y + z thì k = - 3
Từ hằng đẳng thức \(x^n-1=\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\right)\to x^n-1\vdots x-1\).
Ta có \(x^{3n+1}+x^{2n}+1=x\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)+\left(x^{2n}-x^2\right)\) . Từ trên ta suy ra \(x^{3n}-1\) chia hết cho đa thức \(x^3-1,\) do đó \(x^{3n}-1\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1.\) Vậy \(x^{3n+1}+x^{2n}+1\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1\) khi và chỉ khi \(x^{2n}-x^2\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1.\)
Ta có \(x^{2n}-x^2=x^2\left(x^{2n-2}-1\right)\). Ta viết \(2n-2=3k+r,0\le r\le2.\)
Khi đó \(x^{2n-2}-1=x^{3k+r}-1=x^r\left(x^{3k}-1\right)+\left(x^r-1\right)\), thành thử \(x^r-1\vdots x^2+x+1\to r=0.\)
Vậy \(2n-2\vdots3\to n-1\vdots3\), hay \(n=3k+1,\) với \(k\) là số tự nhiên.
Đáp số: \(n=3k+1,\) với \(k\) là số tự nhiên tùy ý.
+ P(x) chia hết cho x + 1
⇔ P(-1) = 0
⇔ m . ( - 1 ) 3 + ( m – 2 ) ( - 1 ) 2 – ( 3 n – 5 ) . ( - 1 ) – 4 n = 0
⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0
⇔ -n – 7 = 0
⇔ n = -7 (1)
+ P(x) chia hết cho x – 3
⇔ P(3) = 0
⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0
⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0
⇔ 36m – 13n = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
+ P(x) chia hết cho x + 1
⇔ P(-1) = 0
⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0
⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0
⇔ -n – 7 = 0
⇔ n = -7 (1)
+ P(x) chia hết cho x – 3
⇔ P(3) = 0
⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0
⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0
⇔ 36m – 13n = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
\(f\left(x\right)⋮\left(x+1\right)\)tức là chia hết cho \(\left[x-\left(-1\right)\right]\)
Do đó: \(f\left(-1\right)=0\Rightarrow n=-7\)
Tương tự, \(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)nên \(f\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow36m-13n-3=0\)
Giải hệ\(\hept{\begin{cases}n=-7\\36m-13n-3=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=-7\\m=\frac{-22}{9}\end{cases}}\)
Giả sử \(x^4+1=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+px+q\right)\)
\(=x^4+px^3+qx^2+ax^3+apx^2+aqx+bx^2+bpx+bq\)
\(=x^4+\left(p+a\right)x^3+\left(q+ap+b\right)x^2+\left(aq+bp\right)x+bq\)
Đồng nhất hệ số ta được : \(a+p=0;q+ap+b=0;aq+bp=0;bq=1\)
Xét \(b=1;q=1\)\(\Rightarrow a=-1;p=1\)
\(\Rightarrow x^4+1=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow p=\pm1;q=1\)