Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từng bài 1 thôi bạn!
vẽ trên đt thông cảm!
Do đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là O
Ta có bổ đề: \(OM=AN=NH=\frac{1}{2}AH\)(tự chứng minh)
Vì \(\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\)(cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))
Mà AK là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
=> AK là phân giác
\(\widehat{HAO}\Rightarrow\widehat{NAK}=\widehat{KAO}\)
Theo bổ đề trên ta có tứ giác ANMO là hình bình hành
=> HK//AO
=> \(\widehat{AKN}=\widehat{KAO}=\widehat{NAK}\left(cmt\right)\)
Hay tam giác NAK cân tại N mà N là trung điểm AH
=> AN=NH=NK
=> \(\Delta AHK\)vuông tại K
a: góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ
=>ADHE là hình chữ nhật
Tâm O là trung điểm của AH
bán kính là AH/2=R
b:
ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên HA^2=HB*HC
=>HA/HC=HB/HA
HO/HN=HA/HC=HB/HA
Xét ΔBHO vuông tại H và ΔAHN vuông tại H có
HB/HA=HO/HN
=>ΔBHO đồng dạng với ΔAHN
a, ta có: ^BAD+^DBA=90 độ
^AFB+^ABF=90 độ
=> ^BAD= ^BFA( đpcm)
b, ta có: ^DAB= góc DCB( gnt cùng chắn cung DB)
=> ^AFD= góc DCB( do câu a)
mà ^DCB+ ^DCE=180 độ ( kề bù)
=> ^AFD+^DCE=180 độ
Xét tứ giác CDFE có: ^ EFD+ ^DCE= 180 độ
=> tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
a, Vì HM là đường cao => \(HM\perp AB\)=> ^HMA = 900
Vì HN là đường cao => \(HN\perp AC\)=> ^HNA = 900
Xét tứ giác AMHN có :
^HMA + ^HNA = 900
mà ^HMA ; ^HNA đối nhau
Vậy tứ giác AMHN nội tiếp
b, Xét tam giác ABH vuông tại H, đường cao HM ta có :
\(AH^2=AM.AB\)(1)
Xét tam giác ACH vuông tại H, đường cao HN ta có :
\(AH^2=AN.AC\)(2)
từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có :
^A chung
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)( cmt )
Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )
Lời giải:
a. $\widehat{ANH}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow HN\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{NHC}=90^0-\widehat{NCH}=90^0-\widehat{ACB}(1)$
Lại có:
$\widehat{NHC}=\widehat{AHC}-\widehat{AHN}=90^0-\widehat{AHN}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{AHN}=\widehat{ACB}$
b.
Ta thấy $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\widehat{MAN}=90^0$
$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{AHN}=\widehat{AMN}$
Kết hợp với kết quả phần a, $\widehat{AHN}=\widehat{ACB}$
$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$
$\Rightarrow BMNC$ là tứ giác nội tiếp.
c.
Hiển nhiên $AH\perp PQ, I\in AH$ nên $AI\perp PQ$
Muốn chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $APQ$, ta chỉ cần chỉ ra $PI\perp AQ$ là đủ.
Muốn chứng minh $PI\perp AQ$, ta cần chứng minh $\widehat{PIH}=\widehat{AQH}$
Muốn chứng minh $\widehat{PIH}=\widehat{AQH}$, ta cần chỉ ra $\triangle AHQ\sim \triangle PHI$
2 tam giác này đã có sẵn $\widehat{H}$ vuông. Giờ chỉ cần chỉ ra $\frac{AH}{PH}=\frac{HQ}{HI}$ bằng nhau thì 2 tam giác đó sẽ đồng dạng theo TH c.g.c
Thật vậy:
$\frac{AH}{PH}=\frac{2OH}{\frac{1}{2}BH}=\frac{4OH}{BH}=\frac{4OH.CH}{BH.CH}=\frac{4OH.2HQ}{AH^2}=\frac{8.OH.HQ}{(2OH)^2}=\frac{2HQ}{OH}=\frac{HQ}{\frac{1}{2}OH}=\frac{HQ}{HI}$
Do đó ta có đpcm
Hình vẽ: