\(x^2+\sqrt[]{x}\) là gì bạn ?

rút gọn

có `cos α=1/2`

`=>cos^2 α=1/4`

Mà `cos^2 α +sin^2 α=1`

`=>1/4+sin^2 α=1`

`=>sin^2 α=1-1/4=3/4`

\(=>sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (vì `sin α` >0)

ta có `sin α : cos α=tan α`

\(=>tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}\)

ta có `tan α * cot α =1`

\(=>\sqrt{3}\cdot cot\alpha=1\\ =>cot\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

tương tự ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}sin\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\cos\beta=1\\cot\beta=1\end{matrix}\right.\)

1/

Xét (O) có

\(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

\(\Rightarrow AM\perp BM\) => AM là tiếp tuyến với (B) bán kính BM

Ta có

\(AB\perp MN\Rightarrow MH=NH\) (trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung tại điểm giao cắt)

=> AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tg BMN

=> tg BMN cân tại B (Trong tg đường cao xp từ 1 đỉnh đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân tại đỉnh đó)

=> BM=BN (cạnh bên tg cân) => \(N\in\left(B\right)\) => BN là đường kính của (B)

Xét (O) có

\(\widehat{ANB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AN\perp BN\)

=> AN là tiếp tuyến của (B)

2/

Ta có

\(MN=MH+NH\)

\(\Rightarrow MN^2=MH^2+NH^2+2.MH.NH\) (1)

Xét tg vuông AMB có

\(MH^2=AH.HB\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)

\(\Rightarrow MH=\sqrt{AH.HB}\) (3)

Xét tg vuông ANB có

\(NH^2=AH.HB\) (lý do như trên) (4)

\(\Rightarrow NH=\sqrt{AH.HB}\) (5)

Từ (3) và (5) \(\Rightarrow MH.NH=\sqrt{AH.HB}.\sqrt{AH.HB}=AH.HB\) (6)

Thay (2) (4) (6) vào (1)

\(\Rightarrow MN^2=AH.HB+AH.HB+2.AH.HB=4.AH.HB\)

Bạn nên viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn. Viết như thế kia rất khó đọc.

\(P=\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-2}\left(x\ge0;x\ne4\right)\)

\(P=\dfrac{\sqrt[]{x}-2+3}{\sqrt[]{x}-2}=1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-2}\)

\(P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\left(\sqrt[]{x}-2\right)\left(\sqrt[]{x}+2\right)}\)

\(P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\left(x-4\right)}\)

Thay \(x=\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}\) vào P

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}-4\right)}\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}-4\right)}\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(-3-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\left(2\sqrt[]{3}-1\right)}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{2\sqrt[]{3}\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(2\sqrt[]{3}-1\right)}\)

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)

Ta có

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)

Bình phương 2 vế của (1)

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)

Do x+y+z=0 nên

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)

Thay (3) vào (2)

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)

Bạn xem lại đề

Xét tg vuông ABC

\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20cm\) (pitago)

\(b^2=b'.a\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow b'=\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{15^2}{25}=9cm\)

\(c'=a-b'=25-9=16cm\)

\(h^2=b'.c'\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow h=\sqrt{b'.c'}=\sqrt{15.9}=12cm\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông :

\(a^2=b^2+c^2\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25^2-15^2=400\Rightarrow c=20\left(cm\right)\) 

\(b^2=a.b'\Rightarrow b'=b^2:a=15^2:25=9\left(cm\right)\)

\(c^2=a.c'\Rightarrow c'=c^2:a=25^2:25=25\left(cm\right)\)

\(h^2=b'.c'=9.25=225\Rightarrow h=15\left(cm\right)\)