Question

[Nhok Lạnh Lùng 2k6]

Bài 1; Tìm số tự nhiên n ,sao cho:

\(\left(n.2^n+1\right)⋮3\)

Answer 1

[Trịnh Sảng và Dương Dương]

Bài 1:

Ta xét 3 trường hợp :

TH1:

Nếu \(n=3k\)( Với \(k\in N\)) thì \(n.2^n⋮3\)

\(\Rightarrow n.2^n+1\) không chia hết cho \(3\)

\(\Rightarrow\)Loại

TH2:

Nếu \(n=3k+1\) ( Với \(k\in N\)) thì \(n.2^n+1=\left(3k+2\right).2^{3k+1}+1\)

\(=3k.2^{3k+1}+2^{3k+1}+1\)

\(=3k.2^{3k+1}+2.8^k+1\)

Do đó : \(n.2^n+1⋮3\Leftrightarrow\left(2.8^k+1\right)⋮3\)

Vì \(8\equiv-1\) ( mod 3 ) nên \(8^k\equiv\left(-1\right)\) ( mod 3)

Suy ra : \(2.8^k+1⋮3\Leftrightarrow2.\left(-1\right)^k+1\equiv0\) ( mod 3 )

\(\Leftrightarrow k\) chẵn \(\Leftrightarrow k=2m\) ( Với \(m\in N\)0 

Do đó : \(n=6m+1\), với \(m\in N\)

TH3:

Nếu \(n=3k+2\) ( với \(k\in N\)) thì \(n.2^n+1=\left(3k+2\right).2^{3k+2}+1\)

\(=3k.2^{3k+2}+2.2^{3k+2}=3k.2^{3k+2}+8^{k+1}+1\)

Do đó : \(\left(n.2^n+1\right)⋮3\Leftrightarrow\left(8^{k+1}+1\right)⋮3\)

Vì \(8\equiv-1\)( mod 3 ) nên \(8^{k+1}\equiv\left(-1\right)^{k+1}\)( mod 3) 

Suy ra : \(\left(8^{k+1}+1\right)⋮3\Leftrightarrow\left(-1\right)^{k+1}+1\equiv0\)( mod 3)

\(\Leftrightarrow k+1\)lẻ \(\Leftrightarrow k\)chẵn \(\Leftrightarrow k=2m\)( Với \(m\in N\))

Do đó :\(n=6m+2\), với \(m\in N\)

Vậy điều kiện cần tìm của m là \(m\equiv1\)( mod 6) hoặc \(m\equiv2\)( mod 6) 

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

                            Giải

* Xét 3 trường hợp :

   * Trường hợp 1 : n = 3k

\(\Rightarrow\left(3k\times2^{3k}+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(3k+8^k+1\right)⋮3\)

Vì \(8^k\)không chia hết cho 3 nên loại trường 1

   *Trường hợp 2 : n = 3k + 1

\(\Rightarrow\left[\left(3k+1\right)2^{3k+1}+1\right]⋮3\)

\(\Rightarrow\left[\left(3k+1\right)2^{3k}.2+1\right]⋮3\)

\(\Rightarrow\left[\left(3k+1\right)8^k.2+1\right]⋮3\)

\(\Rightarrow\left(24k^k+8^k\right).2+1⋮3\)

Mà 1 không chia hết cho 3 nên loại trường hợp 2

Vậy n = 3k + 2