Question

[Nguyễn Thành Long]

cho tam giác abc có h1, h2, h3 là đường cao tam giác. R1, R2, R3 là bán kính của đường tròn bàng tiếp trong góc a, góc b, góc c. Gọi R là bán kín của đường tròn nội tiếp tam giác abc. CMR :

a) 1/h1 + 1/h2 + 1/h3 = 1/R.

b) 1/R1 + 1/R2 +1/R3 = 1/R

Answer 1

[This night is not forever]

"h ảnh chỉ mang tính chất minh họa''

a) IF=IE=IG=R (I là giao điểm của 3 đường p.g trong và IE\(\perp AC\);IF\(\perp AB;IG\perp BC\))

\(\frac{IG}{AH}=\frac{S_{BIC}}{S_{ABC}}\)(chung cạnh đáy)\(\rightarrow\frac{R}{H_1}=\frac{S_{BIC}}{S_{ABC}}\)

tương tự:\(\frac{R}{H_2}=\frac{S_{AIB}}{S_{ABC}};\frac{R}{H_3}=\frac{S_{AIC}}{S_{ABC}}\)\(\rightarrow R\left(\frac{1}{H_1}+\frac{1}{H_2}+\frac{1}{H_3}\right)=\frac{S_{BIC}+S_{AIB}+S_{AIC}}{S_{ABC}}=1\)

\(\rightarrow\frac{1}{H_1}+\frac{1}{H_2}+\frac{1}{H_3}=\frac{1}{R}\)

b) xét \(\Delta AKP\)có:IE//PK\(\rightarrow\frac{IE}{PK}=\frac{AE}{AP}\)(hệ qủa tales)(1)

AE+AF=AB+AC-BC, AE=AF\(\rightarrow AE=\frac{AB+AC-BC}{2}\)

tương tự:\(AP=\frac{AB+AC+BC}{2}\)

từ (1)\(\rightarrow\frac{R}{R_1}=\frac{AB+AC-BC}{AB+AC+BC}\)tương tự ta có:\(\frac{R}{R_2}=\frac{AB+BC-AC}{AB+AC+BC};\frac{R}{R_3}=\frac{AC+BC-AB}{AB+AC+BC}\)

\(\rightarrow R\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)=\frac{AB+AC+BC}{AB+BC+AC}=1\)

vậy\(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}=\frac{1}{R}\)

Answer 2

[Tuấn Anh]

Hình vẽ đẹp đấy