Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 1 2023
Ta có: \(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{y-x+x-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)\(=\dfrac{y-x}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{x-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\) \(=\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{x-y}\)
Tương tự:
\(\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}\)
\(\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\) \(=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-z}+\dfrac{2}{z-x}\) \(\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2021
Điều kiện là \(xy\ne0\)
BĐT tương đương:
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}-1+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{4x^2y^2-(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}+\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{-(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2\left(\frac{1}{x^2y^2}-\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x^2-y^2)^2(x^4+y^4+x^2y^2)}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y$
14 tháng 4 2018
\(A=\dfrac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)
x,y khác 0
<=>\(A=\dfrac{4}{\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2}+\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\)
\(A+2=\dfrac{4}{\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2}+\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=m\)
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=t;t\ge4\)
\(m=\dfrac{4}{t}+t\Leftrightarrow t^2-mt+4=0\)
f(t) có nghiệm t>= 4<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-16\ge0\\\dfrac{m+\sqrt{m^2-16}}{2}\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|m\right|\ge4\\m^2-16\ge m^2-16m+64\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|m\right|\ge4\\m\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow A+2\ge5;A\ge3=>dpcm\)
XO
3 tháng 8 2023
Có VT = \(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xy}-\dfrac{2}{yz}-\dfrac{2}{zx}}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|=VP\) (Vì x + y + z = 0)
NK
1
13 tháng 4 2017
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2y^2}+\dfrac{y^4}{x^2y^2}+\dfrac{4x^2y^2}{x^2y^2}\ge3\left(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3x^2+3y^2}{xy}-\dfrac{6xy}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2-2xy+y^2\right)}{xy}=\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 7 2018
Lời giải:
Nếu $x,y$ trái dấu: Ta thấy vế trái luôn lớn hơn $0$, còn vế phải sẽ nhỏ hơn $0$ do \(x,y\) trái dấu thì \(\frac{x}{y}; \frac{y}{x}< 0\)
Do đó \(\text{VT}> \text{VP}(1)\)
Nếu $x,y$ cùng dấu:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(=t^2+2-3t=(t-1)(t-2)\) với \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
\(\Rightarrow t-1>0; t-2\geq 0\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\)
Hay \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\) (2)
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\neq 0\)
MS
2
HN
10 tháng 4 2017
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1\right)+\left(\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)
2 tháng 10 2017
cách khác
đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\Leftrightarrow t^2-3t+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
điều này luôn đúng với mọi |t| >=2 => dpcm
kết luận điều kiện đề hơi thừa
cái cần c/m đúng với mọi x,y khác 0
24 tháng 6 2017
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2}{x^2y^2}-\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{3}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Note \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\)
Nên ta sẽ đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\ge2\). Khi đó
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\ge0\)
BĐT cuối đúng vì \(t\ge 2\)