K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 1 2018

BĐT cần chứng minh tương đương :

\(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^2b^2c^2}\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^6}{b^2c^2}+\dfrac{b^6}{a^2c^2}+\dfrac{c^6}{a^2b^2}\ge ab+bc+ac\)

Do \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

Ta phải cm

\(\dfrac{a^6}{b^2c^2}+\dfrac{b^6}{a^2c^2}+\dfrac{c^6}{a^2b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)(1)

Đặt : \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}\ge x+y+z\)

Áp dụng C.B.S

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}=\dfrac{x^4}{xyz}+\dfrac{y^4}{xyz}+\dfrac{z^4}{xyz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3xyz}\)

Theo Bunhiacopxki: \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{9}\)

Theo Cauchy : \(\Rightarrow3xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3xyz}\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\)\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}\ge x+y+z\)

=> đpcm

18 tháng 1 2018

BĐT cần chứng minh tương đương :

a8+b8+c8a3b3c3≥ab+bc+acabca8+b8+c8a3b3c3≥ab+bc+acabc

⇔a8+b8+c8a2b2c2≥ab+bc+ac⇔a8+b8+c8a2b2c2≥ab+bc+ac

⇔a6b2c2+b6a2c2+c6a2b2≥ab+bc+ac⇔a6b2c2+b6a2c2+c6a2b2≥ab+bc+ac

Do a2+b2+c2≥ab+bc+aca2+b2+c2≥ab+bc+ac

Ta phải cm

a6b2c2+b6a2c2+c6a2b2≥a2+b2+c2a6b2c2+b6a2c2+c6a2b2≥a2+b2+c2(1)

Đặt : (a2;b2;c2)=(x;y;z)(a2;b2;c2)=(x;y;z)

⇒(1)⇔x3yz+y3xz+z3xy≥x+y+z⇒(1)⇔x3yz+y3xz+z3xy≥x+y+z

Áp dụng C.B.S

⇒x3yz+y3xz+z3xy=x4xyz+y4xyz+z4xyz≥(x2+y2+z2)23xyz⇒x3yz+y3xz+z3xy=x4xyz+y4xyz+z4xyz≥(x2+y2+z2)23xyz

Theo Bunhiacopxki: x2+y2+z2≥(x+y+z)23x2+y2+z2≥(x+y+z)23⇒(x2+y2+z2)2≥(x+y+z)49⇒(x2+y2+z2)2≥(x+y+z)49

Theo Cauchy : ⇒3xyz≤(x+y+z)39⇒3xyz≤(x+y+z)39

⇒(x2+y2+z2)23xyz≥(x+y+z)49(x+y+z)39=x+y+z⇒(x2+y2+z2)23xyz≥(x+y+z)49(x+y+z)39=x+y+z

⇒⇒⇒x3yz+y3xz+z3xy≥x+y+z⇒x3yz+y3xz+z3xy≥x+y+z

=> đpcm

30 tháng 9 2018

Áp dụng BĐT: x2+y2+z2\(\ge\)xy+yz+zx ( với x,y,z >0)

Ta có\(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\)\(\ge\)\(\dfrac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4}{a^3b^3c^3}\)

\(\ge\)\(\dfrac{a^4b^2c^2+b^4c^2a^2+c^4a^2b^2}{a^3b^3c^3}\)=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)\(\ge\)\(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)

= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2018

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)

\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)

\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)

Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)

\(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)

hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) đúng

Ta có đpcm.

22 tháng 1 2022

Coi như a, b, c là số dương

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{c}{ba}}=2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{2}{b}\left(1\right)\)

Dấu "=" xảy ra ...

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{c^2}}=\dfrac{2}{c}\left(2\right)\)

Dấu "=" xảy ra ...

\(\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}}=2\sqrt{\dfrac{1}{a^2}}=\dfrac{2}{a}\left(3\right)\)

Dấu "=" xảy ra ...

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}+\dfrac{b}{ac}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\\ \Rightarrow2\left(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ba}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra ...

Vậy ...

22 tháng 1 2022

a, b, c có phải là số dương không bạn, nếu không thì làm sao dùng BĐT Cô-si được

7 tháng 12 2021

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

 

3 tháng 5 2018

bạn ơi, bài này sai đề rồi

25 tháng 7 2018

Ta có: BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a-\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{2b-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c-\left(c+a\right)}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (đúng)

Vậy BĐT luôn đúng với \(a\ge b\ge c>0\)

30 tháng 12 2022

3: =>a^3+b^3+c^3>=3abc

=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc>=0

=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac>=0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0(luôn đúng)

30 tháng 12 2022

1: \(\Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right)>=0\)

=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)(luôn đúng)

8 tháng 4 2018

tham khảo tại đây-_-

Câu hỏi của Nguyễn Thị Bình Yên - Toán lớp 8 | Học trực tuyến