Cho a,b,c >= 0 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\)
c/m \(\sqrt[18]{a}+\sqrt[18]{b}+\sqrt[18]{c}=\sqrt[18]{a+b-c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\((a+b)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(a+b)}\)
\((b+c)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(b+c)}\)
\((c+a)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(c+a)}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow 2(a+b+c)+4\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{18}\geq \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
KK
2
1 tháng 10 2020
Áp dụng bđt thức svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\) (1)
CM bđt đúng: Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có: (với y1; y2 > = 0)
\(\left[\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}\right)^2+\left(\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{y_1}\right)^2+\left(\sqrt{y_2}\right)^2\right]\ge\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}.\sqrt{y_1}+\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}.\sqrt{y_2}\right)^2\)
\(\ge\left(x_1+x_2\right)^2\) => \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\) (đpcm)
Ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) => \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)(Vì a,b > = 0) (1)
CMTT: \(\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{b+c}{\sqrt{2}}\) (2)
\(\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{a+c}{\sqrt{2}}\) (3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{b+c}{\sqrt{2}}+\frac{a+c}{\sqrt{2}}\)
\(S\ge\frac{a+b+b+c+c+a}{\sqrt{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}=\sqrt{18}\)(Đpcm)
KN
5 tháng 10 2020
Ta chứng minh BĐT Minkowski: \(\sqrt{m^2+n^2}+\sqrt{p^2+q^2}\ge\sqrt{\left(m+p\right)^2+\left(n+q\right)^2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(m^2+n^2\right)+\left(p^2+q^2\right)+2\sqrt{\left(m^2+n^2\right)\left(p^2+q^2\right)}\ge m^2+p^2+2mp+n^2+q^2+2nq\)\(\Leftrightarrow\left(m^2+n^2\right)\left(p^2+q^2\right)\ge\left(mp+nq\right)^2\)(đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Áp dụng, ta được: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c+a\right)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1 tháng 8 2023
a: \(=3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-3\sqrt{6}\)
=3căn 6-6-3căn 6=-6
b: \(=\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}\)
\(=\dfrac{a+\sqrt{ab}-a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
1 tháng 8 2017
Mình làm hơi tắt nhé !
a, \(\left(5\sqrt{18}-3\sqrt{18}+4\sqrt{2}\right):\sqrt{2}\)
= \(5\sqrt{18:2}-3\sqrt{18:2}+4\sqrt{2:2}=15-9+4=10\)
b, \(\left(\sqrt{\dfrac{a^2}{d}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{d}}-\sqrt{d}\right):\sqrt{d}\)
= \(\left(\sqrt{\dfrac{a^2}{d}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{d}}-\sqrt{d}\right).\dfrac{1}{\sqrt{d}}=\dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{d}.\sqrt{d}}+\dfrac{\sqrt{b^2}}{\sqrt{d}.\sqrt{d}}-\dfrac{\sqrt{d}}{\sqrt{d}}=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}-1\) = \(\dfrac{a+b}{d}-1\)
13 tháng 7 2021
`a)sqrt{5x-2}=3(x>=2/5)`
`<=>5x-2=9`
`<=>5x=11`
`<=>x=11/5(tm)`
`b)sqrt{x^2-4x+4}-5=0`
`<=>\sqrt{(x-2)^2}=5`
`<=>|x-2|=5`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x-2=5\\x-2=-5\end{array} \right.\)
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-3\end{array} \right.\)
`c)3sqrt{4x+8}-sqrt{9x+18}+9sqrt{(x+2)/9}=sqrt{72}(x>=-2)`
`<=>6sqrt{x+2}-3sqrt{x+2}+3sqrt{x+2}=sqrt{72}`
`<=>6sqrt{x+2}=6sqrt2`
`<=>sqrt{x+2}=sqrt2`
`<=>x+2=2`
`<=>x=0(tm)`
BA
13 tháng 7 2021
\(a,ĐK:x\ge\dfrac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow5x-2=9\)
\(\Leftrightarrow5x=11\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{5}\)
\(b,\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+4=25\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-21=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{109}}{2}\\x=\dfrac{5-\sqrt{109}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(c,\)
\(\Leftrightarrow6\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}+9\cdot\sqrt{\dfrac{x+2}{9}}=6\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}+3\cdot\sqrt{\dfrac{x+2}{9}}=2\sqrt{2}\)
Đặt \(\sqrt{x+2}=a\) ta có (1)
\(2a-a+3\cdot\dfrac{a}{\sqrt{9}}=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow a+3\cdot\dfrac{a}{3}=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow2a=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow a=\sqrt{2}\)
Thay \(a=\sqrt{2}\) vào (1) ta có
\(\sqrt{x+2}=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x+2=2\)
\(\Leftrightarrow x=0\)
