Cho \(a^2+b^2+c^2=m\)
Tính GTBT theo m:
\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 9 2018
Lời giải:
Đặt \(a+b+c=t\)
\(A=(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2\)
\(=(2a+2b+2c-3c)^2+(2b+2c+2a-3a)^2+(2c+2a+2b-3b)^2\)
\(=(2t-3c)^2+(2t-3a)^2+(2t-3b)^2\)
\(=4t^2+9c^2-12tc+4t^2+9a^2-12ta+4t^2+9b^2-12tb\)
\(=12t^2+9(a^2+b^2+c^2)-12t(a+b+c)\)
\(=12t^2+9m-12t^2=9m\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 8 2017
Lời giải:
\(A=4(a+b)^2+c^2-4c(a+b)+4(b+c)^2+a^2-4a(b+c)+4(c+a)^2+b^2-4b(a+c)\)
\(\Leftrightarrow A=4(a+b)^2+4(b+c)^2+4(c+a)^2-8(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow A=4(a^2+b^2+2ab)+4(b^2+c^2+2bc)+4(c^2+a^2+2ac)-8(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow A= 8(a^2+b^2+c^2)=8m\)
HA
22 tháng 8 2017
\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)
\(A=\left(2a+2b+2c-3x\right)^2+\left(2b+2c+2a-3a\right)^2+\left(2c+2a+2b-3b\right)^2\)
Đặt a + b + c = x thì:
\(A=\left(2x-3c\right)^2+\left(2x-3a\right)^2+\left(2x-3b\right)^2\)
\(=4x^2-12cx+9c^2+4x^2-12ax+9a^2+4x^2-12bx+9b^2\)
\(=12x^2-12x\left(a+b+c\right)+9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(12x^2-12x^2+9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9m\)
22 tháng 8 2017
\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)
\(A=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ac+4b^2+4c^2+a^2+8ac-4ca-4ba+4c^2+4a^2+b^2+8ca-4ab-4cb\)
\(A=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9m\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2021
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)
\(\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{8a+6}{\left(a-1\right)^2+2}\right)\le\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{8a+6}{2}\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\le\dfrac{1}{3}\left(3+\dfrac{8\left(a+b+c\right)+18}{2}\right)=8\) (đpcm)
KN
9 tháng 6 2020
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 1
Khi đó, ta cần chứng minh: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\le8\)
Xét bất đẳng thức phụ: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\le4x+\frac{4}{3}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2\left(4x+1\right)}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\)\(\le4\left(a+b+c\right)+4=4.1+4=8\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
25 tháng 7 2019
Chuẩn hóa ta có : \(a+b+c=3\)
=> \(\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}=\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\)
Xét\(\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\le\frac{4}{3}a+\frac{4}{3}\)
<=> \(a^2+6a+9\le4\left(a+1\right)\left(a^2-2a+3\right)\)
<=> \(4a^3-5a^2-2a+3\ge0\)
<=> \(\left(a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\)luôn đúng
Khi đó
\(VT\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)+4=\frac{4}{3}.3+4=8\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
9 tháng 8 2019
\(=\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\) nha !
P/S:Ko có mục đích xấu,đăng lên cho bạn thôi.
16 tháng 4 2017
Nhức nhối mãi bài này vì nó làm lag hết máy
Giải
Đặt \(x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}\)
Ta phải chứng minh \(Σ\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\le8\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{2x+1}{x^2+2}\le\dfrac{5}{2}\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{1}{2}\)
Lại theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Σ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6}\)
Ta còn phải chứng minh
\(2\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-6x-6y-6z+9\right)\)\(\ge x^2+y^2+z^2+6\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4\left(xy+yz+xz\right)-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)
Bây giờ có \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge12\left(xyz\ge8\right)\)
Còn phải chứng minh \(\left(x+y+z\right)^2+24-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
16 tháng 4 2017
Bởi vì BĐT là thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa \(a+b+c=3\). Khi đó
\(\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}=\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2+\left(a-1\right)^2}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2}\right)=\dfrac{4a+4}{3}\)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{\left(2b+c+a\right)^2}{2b^2+\left(a+c\right)^2}\ge\dfrac{4b+4}{3};\dfrac{\left(2c+b+a\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4c+4}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(Σ\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\geΣ\left(4a+4\right)=8\)
\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)
\(A=\left(2a+2b+2c-3c\right)^2+\left(2b+2c+2a-3a\right)^2+\left(2c+2a+2b-3b\right)^2\)
\(A=\left[2.\left(a+b+c\right)-3c\right]^2+\left[2.\left(a+b+c\right)-3a\right]^2+\left[2.\left(a+b+c\right)-3b\right]^2\)
Đặt \(a+b+c=n\)
\(\Rightarrow A=\left(2n-3c\right)^2+\left(2n-3a\right)^2+\left(2n-3b\right)\)
\(A=4n^2-12cn+9c^2+4n^2-12an+9a^2+4n^2-12bn+9b^2\)
\(A=12n.\left(n-a-b-c\right)+9.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=m\)
\(\Rightarrow A=12.\left(a+b+c-a-b-c\right)+9m\)
\(A=9m\)
Vậy \(A=9m\)tại \(a^2+b^2+c^2=m\)
Tham khảo nhé~