K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 9 2018

Lời giải:

Đặt \(a+b+c=t\)

\(A=(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2\)

\(=(2a+2b+2c-3c)^2+(2b+2c+2a-3a)^2+(2c+2a+2b-3b)^2\)

\(=(2t-3c)^2+(2t-3a)^2+(2t-3b)^2\)

\(=4t^2+9c^2-12tc+4t^2+9a^2-12ta+4t^2+9b^2-12tb\)

\(=12t^2+9(a^2+b^2+c^2)-12t(a+b+c)\)

\(=12t^2+9m-12t^2=9m\)

21 tháng 9 2018

\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)

\(A=\left(2a+2b+2c-3c\right)^2+\left(2b+2c+2a-3a\right)^2+\left(2c+2a+2b-3b\right)^2\)

\(A=\left[2.\left(a+b+c\right)-3c\right]^2+\left[2.\left(a+b+c\right)-3a\right]^2+\left[2.\left(a+b+c\right)-3b\right]^2\)

Đặt \(a+b+c=n\)

\(\Rightarrow A=\left(2n-3c\right)^2+\left(2n-3a\right)^2+\left(2n-3b\right)\)

\(A=4n^2-12cn+9c^2+4n^2-12an+9a^2+4n^2-12bn+9b^2\)

\(A=12n.\left(n-a-b-c\right)+9.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=m\)

\(\Rightarrow A=12.\left(a+b+c-a-b-c\right)+9m\)

\(A=9m\)

Vậy \(A=9m\)tại \(a^2+b^2+c^2=m\)

Tham khảo nhé~

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 8 2017

Lời giải:

\(A=4(a+b)^2+c^2-4c(a+b)+4(b+c)^2+a^2-4a(b+c)+4(c+a)^2+b^2-4b(a+c)\)

\(\Leftrightarrow A=4(a+b)^2+4(b+c)^2+4(c+a)^2-8(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow A=4(a^2+b^2+2ab)+4(b^2+c^2+2bc)+4(c^2+a^2+2ac)-8(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow A= 8(a^2+b^2+c^2)=8m\)

22 tháng 8 2017

\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)

\(A=\left(2a+2b+2c-3x\right)^2+\left(2b+2c+2a-3a\right)^2+\left(2c+2a+2b-3b\right)^2\)

Đặt a + b + c = x thì:

\(A=\left(2x-3c\right)^2+\left(2x-3a\right)^2+\left(2x-3b\right)^2\)

\(=4x^2-12cx+9c^2+4x^2-12ax+9a^2+4x^2-12bx+9b^2\)

\(=12x^2-12x\left(a+b+c\right)+9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(12x^2-12x^2+9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9m\)

22 tháng 8 2017

\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)

\(A=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ac+4b^2+4c^2+a^2+8ac-4ca-4ba+4c^2+4a^2+b^2+8ca-4ab-4cb\)

\(A=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9m\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)

\(=[a(a+b+c)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

15 tháng 10 2021

1.

\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)

Từ đó ta được đpcm

 

 

 

15 tháng 10 2021

uầy e đọc chả hỉu j lun :(

9 tháng 11 2023

 

1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2/

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)

\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)

\(\Rightarrow P_{min}=18\)