Question

[Xmaf]

Cho tam giác ABC cân tại A , có I là tđ của BC . IM vuông góc vs AB tại M và IN vuông góc AC tại N

A ) CM tam giác BMI - tam giác CNI

b) Cm tam giác AMN cân

c) C/mMN // BC

d) c/ m AI vuông góc với BC và AI là p/g của góc BAC  

e) C/M 2IN² = AC² -AN² - NC²

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàng]

a) Vì \(\Delta ABC\)cân tại A ( GT )

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tính chất tam giác cân )

Xét \(\Delta BMI\left(\widehat{BMI}=90^o\right)\)và \(\Delta CNI\left(\widehat{CNI}=90^o\right)\)có :

          \(BI=CI\)( vì I là trung điểm của BC )

         \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( chứng minh trên )

\(\Rightarrow\Delta BMI=\Delta CNI\)( Cạnh huyền - góc nhọn )

b) VÌ \(\Delta BMI=\Delta CNI\)( chứng minh trên ) 

\(\Rightarrow BM=CN\)( 2 cạnh tương ứng )

 Ta có : \(\hept{\begin{cases}AB=AM+MB\\AC=AN+NC\end{cases}}\)

Mà AB = AC ( vì \(\Delta ABC\)cân tại A ) ; BM = CN ( chứng minh trên )

\(\Rightarrow AM=AN\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A ( Điều phải chứng minh )

c) Vì \(\Delta ABC\)cân tại A nên :

\(\widehat{B_1}=\frac{180^o-M\widehat{AN}}{2}\left(1\right)\)

Vì \(\Delta AMN\)cân tại A nên :

\(\widehat{M_1}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 )

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{M_1}\)

Mà \(\widehat{B_1}\)và \(\widehat{M_1}\)ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow MN//BC\)( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song )

d) Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta ACI\)có :

        \(AI\): cạnh chung

        \(BI=CI\)( vì I là trung điểm của BC )

        \(AB=AC\)( vì \(\Delta ABC\)cân tại A )

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)( 2 góc tương ứng ) 

     \(\widehat{BIA}=\widehat{CIA}\)( 2 góc tương ứng )

Vì \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)( chứng minh trên )

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Vì \(\widehat{BIA}=\widehat{CIA}\)( chứng minh trên )

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=90^o\)( 2 góc kề bù )

\(\Rightarrow AI\perp BC\)

e) Áp dụng định lí pi-ta-go vào \(\Delta AIN\)có:

\(IN^2+AN^2=AI^2\)

\(\Rightarrow IN^2=AI^2-AN^2\left(3\right)\)

Áp dụng định lí pi-ta-go vào \(\Delta INC\)có:

\(IN^2+NC^2=IC^2\)

\(\Rightarrow IN^2=IC^2-NC^2\left(4\right)\)

Từ (3) và ( 4)

\(\Rightarrow2IN^2=AI^2-AN^2+IC^2-NC^2\)

\(\Rightarrow2IN^2=\left(AI^2+IC^2\right)-AN^2-NC^2\left(5\right)\)

Theo chứng minh trên ta có : \(AI\perp BC\)

\(\Rightarrow\Delta AIC\)vuông tại I

Áp dụng định lí pi-ta-go vào \(\Delta AIC\)ta có:

\(AC^2=AI^2+IC^2\left(6\right)\)

Từ (5) và (6)

\(\Rightarrow2IN^2=AC^2-AN^2-NC^2\)( Điều phải chứng minh )

Answer 2

[ʚ๖ۣۜKɦáηɦ ๖ۣۜHυүềηɞ‏]

a, vì tam giác ABC cân tại A => góc B = góc C ( 2  góc ở đáy bằng nhau )
-tam giác ABM và tam giác ACM có :
AB=AC(gt)                  |
góc B= góc C ( cmt )   | => tam giác ABM=tam giác ACM(c-g-c)
BM=CM (gt)                |
=> góc A1 = góc A2 ( 2 góc t/ứ )
-tam giác AEM và tam giác AIM có
góc AEM=góc AIM(=90 độ)   |
cạnh AM chung                    |=> tam giác AEM= tam giác  AIM ( ch-gn)
góc A1= góc A2(cmt )           |
=> AE=AI(2 cạnh t/ứ)
b, vì tam giác AEI cân tại A => tia phân giác góc A vuông góc với EI 
đặt AM cắt EI tại O
tam giác AEO và tam giác AIO có
góc AOE = góc AOI (=90 độ)   |
AE=AI(cmt)                            | => tam giác AEO và tam giác AIO ( ch-cgv)
AO chung                               |
=> EO = IO ( 2 cạnh t/ứ )
vì AO vuông góc EI và EO = IO =>AO là đg trug trực của EI
mà AM là nối dài của AO => AM là đg trug trực của EI
c, vì tam giác AEI cân tại A => góc AEI = ( 180 độ - góc A ): 2    (1)
   vì tam giác ABC cân tại A  => góc ABC = ( 180 độ - góc A ) : 2   (2)
từ (1) và (2) => góc AEI = góc ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => EI // BC
d, vì BM=CM ( gt )   => BM = CM = 18: 2 = 9 (cm)
-AM^2 = AE^2 + BM^2
=>AM^2 = 15^2 - 9^2
=>AM^2 = 144
=>AM   = 12 (cm)