cho \(\frac{n^2-1}{3}\)là tích hai số tự nhiên liên tiếp .Chứng minh rằng 2n-1 là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 1 2020
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
31 tháng 3 2018
Ta có: N = 1.3.5.7.....2013
=> 2N = 2.1.3.5.7.....2013
Vì 2N chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4
=> 2N không là số chính phương
Vì 2N chia hết cho 3
=> 2N - 1 chia cho 3 dư 2
=> 2N - 1 không là số chính phương
Vì 2N chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4
=> 2N chia cho 4 dư 2
=> 2N + 1 chia cho 4 dư 3
=> 2N + 1 không là số chính phương
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp 2N - 1, 2N, 2N + 1 không có số nào là số chính phương.
HT
2 tháng 7 2021
2.
Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)
Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1
=( x2 + 3x ) (x2 + 2x + x +2 ) +1
= ( x2 + 3x ) (x2 +3x + 2 ) +1 (*)
Đặt t = x2 + 3x thì (* ) = t ( t+2 ) + 1= t2 + 2t +1 = (t+1)2 = (x2 + 3x + 1 )2
=> x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 là số chính phương
hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương
6 tháng 10 2021
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\) với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\) nên dẫn đến :
\(TH1:2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
\(TH2:2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
\(TH1:\)
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2=2\left(mod3\right)\)
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\) là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
\(TH1:\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=3q\end{cases}}\)
\(TH2:\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2=2\left(mod3\right)\) ( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\) ( dpcm )
28 tháng 3 2018
Ta có: 2N = 2.1.3.5.7.....2013
=> 2N chia hết cho 3
=> 2N - 1 chia cho 3 dư 2
=> 2N - 1 không là SCP
28 tháng 3 2018
Ta có: N = 1.3.5.7.....2013
=> 2N = 2.1.3.5.7.....2013
Vì 2N chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 => 2N không là SCP
Biết làm mỗi vậy thôi, chờ tí nữa nghĩ tiếp.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 11 2023
Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.
Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$
$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$
$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$
$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$
Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)
$\Rightarrow d=1$
Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau.
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 11 2023
Bài 2:
a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$
$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
b.
Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$
$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$
$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.
Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
13 tháng 7 2023
Giả sử 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2(1)
Khi n=1 thì ta sẽ có 1^3=1^2(đúng)
Giả sử (1) đúng khi n=k
Khi n=2 thì ta sẽ có 1^3+2^3=9=(1+2)^2
Ta sẽ cần chứng minh (1) đúng khi n=k+1
1^3+2^3+...+n^3
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3
Xét biểu thức (k+1)^2+2(k+1)(1+2+...+k)
=(k+1)^2+2*(k+1)*k*(k+1)/2
=(k+1)^2*(1+k)=(k+1)^3
=>1^3+2^3+...+(k+1)^3
=>ĐPCM
tui không biết làm , vậy nên t.i.c.k cho tui nha :)))
1 thui