Question

[Tran Thi Ninh]

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

sdddssKiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Kiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Kiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Kiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Kiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Kiểm traI. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập   

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

$(0;\pi )$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};0)$$(\pi ;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2})$$(-\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2})$Kiểm tra1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$ thì $f\left(x^1\right)<f\left(x^2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x^1,x^2\in K$ mà $x^1<x^2$  thì $f\left(x^1\right)>f\left(x^2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

         

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmLuyện tập   

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

Kiểm tra

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập   

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2}\right)$$\left(0;\genfrac{}{}{0ex}{}{\pi }{2}\right)$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\pi }{2};2\pi \right)$Kiểm tra

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập   

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

    

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.

Kiểm tra

Answer 1

[Tran Thi Ninh]

có vẻ ngắn

Answer 2

[Phí Lê Tường Vi]

đọc hết thanh xuân