Question

[van]

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh AC sao cho AM=AN.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN cân
b) Chứng minh MN//BC
c) Gọi I là giao điểm của CM và BN. Chứng minh 2 tam giác BIC và MIN cân
d) Gọi E là trung điểm MN, F là trung điểm BC. Chứng minh A,E,F,I thẳng hàng

Answer 1

[✫¸.•°*”˜˜”*°•✫ Ṱђầภ Ḉђết ✫•°*”˜˜”*°...]

Bài làm

a) Xét tam giác AMN có:

AM = AN 

=> Tam giác AMN cân tại A.

b) Xét tam giác ABC cân tại A có:

\(\widehat{B}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                            ^₍₁₎ 

Xét tam giác AMN cân tại A có:

\(\widehat{M}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                         ^₍₂₎ 

Từ ^₍₁₎ và ^₍₂₎ => \(\widehat{B}=\widehat{M}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

=> MN // BC

c) Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

AN = AM ( gt )

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC ( Vì tam giác ABC cân )

=> Tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( hai cạnh tương ứng )

Ta có: \(\widehat{ABN}+\widehat{MBC}=\widehat{ABC}\)

          \(\widehat{ACM}+\widehat{MCB}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( cmt )

      \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( hai góc kề đáy của tam giác cân )

=> \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> Tam giác BIC cân tại I

Vì MN // BC

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{IBC}\)( so le trong )

     \(\widehat{NMI}=\widehat{ICB}\)( so le trong )

Và \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)( cmt )

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{NMI}\)

=> Tam giác MIN cân tại I

d) Xét tam giác cân AMN có:

E là trung điểm của MN

=> AE là trung tuyến  

=> AE là đường trung trực.

=> \(\widehat{AEN}=90^0\)                    ^₍₁₎ 

Xét tam giác cân MNI có:

E là trung điểm MN

=> IE là đường trung tuyến

=> IE là trung trực.                            

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)        ^₍₂₎ 

Cộng ^₍₁₎ và ^₍₂₎ ta được:\(\widehat{IEN}+\widehat{AEN}=90^0+90^0=180^0\) => A,E,I thẳng hàng.                      ^₍₃₎ 

Xét tam giác cân BIC có:

F là trung điểm BC

=> IF là trung tuyến

=> IF là trung trực.

=> \(\widehat{IFC}=90^0\)                

Và MN // BC

Mà \(\widehat{IFC}=90^0\)

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)

=> E,I,F thẳng hàng.             ^₍₄₎ 

Từ ^₍₃₎ và ^₍₄₎ => A,E,I,F thẳng hàng. ( đpcm )

# Học tốt #