Question

[CAO Thị Thùy Linh]

Cho parabol (P)có phương trình \(y=f\left(x\right)=x^2\) và

đường thẳng d có phương trình .y=g(x) Tập nghiệm

của bất phương trình \(f\left(x\right)-g\left(x\right)\le0\)là [1;3]. Giả

sử A,B là giao điểm của (P) và (d). Gọi \(M\left(m,m^2\right)\)

với \(m\in\left[1;3\right]\) Tìm m Để diện tích \(\Delta ABC\) đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi pt d có dạng \(y=ax+b\)

\(f\left(x\right)-g\left(x\right)\le0\Leftrightarrow x^2-ax-b\le0\)

Do nghiệm của BPT là \(\left[1;3\right]\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo: \(\left\{{}\begin{matrix}a=3+1\\-b=3.1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=4x-3\Leftrightarrow4x-y-3=0\)

\(\Rightarrow A\left(1;1\right)\) ; \(B\left(3;9\right)\)

Diện tích tam giác ABM lớn nhất khi \(d\left(M;d\right)\) lớn nhất

\(d\left(M;d\right)=\frac{\left|4m-m^2-3\right|}{\sqrt{17}}=\frac{\left|m^2-4m+3\right|}{\sqrt{17}}=\frac{\left|\left(m-2\right)^2-1\right|}{\sqrt{17}}\le\frac{1}{\sqrt{17}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=2\)