Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 và \(abc\ne0\) . Chứng minh rằng: \(\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)=9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 8 2016
a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .
PN
22 tháng 9 2017
Trần Hữu Ngọc Minh bn tham khảo nha:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}=\frac{a+b+c}{"b+c"+"a+c"+"a+b"}=\frac{a+b+c}{2."a+b+c"}\)
Xét 2 trường hợp, ta có:
\(\cdot TH1:a+b+c=0\)thì \(\hept{\begin{cases}b+c=-a\\a+c=-b\\a+b=-c\end{cases}}\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1+-1+-1=-3\)
Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c 1:
\(\cdot TH2:a+b+c\ne0\)thì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2."a+b+c"}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}\)
Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c 2
Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\)đpcm
KN
3 tháng 12 2019
Ta có: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-bc+c^2-a^2+ab}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ca+a^2-b^2+bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Cộng các đẳng thức trên ta được:
\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)\(\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ba-ca+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
Vậy \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)0 (đpcm)
22 tháng 10 2019
Câu hỏi của Jungkookie - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
TN
23 tháng 5 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{c^3}}=\frac{3}{c}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge\frac{3}{b}.\left(2\right)\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge\frac{3}{a}.\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được
\(3\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\left(4\right)\)
Mặt khác, do abc=1 nên theo BĐT AM-GM
ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(\frac{a}{b}+ab\right)+\left(\frac{b}{c}+bc\right)+\left(\frac{c}{a}+ca\right)\ge2a+2b+2c.\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) =>đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Đặt: \(A=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{abc}\)
\(\Leftrightarrow abc\cdot A=ab\left(a-b\right)+bc\left[\left(b-a\right)+\left(a-c\right)\right]+ca\left(c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\cdot A=ab\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)-bc\left(c-a\right)+ca\left(c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\cdot A=b\left(a-b\right)\left(a-c\right)+c\left(c-a\right)\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\cdot A=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
\(\Rightarrow A=-\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{abc}\) (1)
Đặt: \(B=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{a\left(a-b\right)\left(c-a\right)+b\left(a-b\right)\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\cdot B=a\left(a-b\right)\left(c-a\right)-\left(c+a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
\(=a\left(a-b\right)\left(c-a\right)-c\left(a-b\right)\left(b-c\right)-a\left(a-b\right)\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
\(=a\left(a-b\right)\left(2c-a-b\right)+c\left(b-c\right)\left(b+c-2a\right)\)
\(=3ac\left(a-b\right)-3ac\left(b-c\right)\)
\(=3ac\left(a+c-2b\right)=-9abc\)
\(\Rightarrow B=-\frac{9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Rightarrow A\cdot B=9\)