K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 12 2020

M\(=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

 

\(M=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2bc}{b\left(ac+2c+2\right)}\)

M = \(\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{b+1+bc}+\dfrac{2bc}{abc+2bc+2b}\)

M=\(\dfrac{1}{b+1+bc}+\dfrac{b}{b+1+bc}+\dfrac{2bc}{2+2bc+2b}\)

M = \(\dfrac{1+b}{b+1+bc}+\dfrac{2bc}{2\left(1+bc+b\right)}\)

M = \(\dfrac{1+b}{b+1+bc}+\dfrac{bc}{b+1+bc}=\dfrac{1+b+bc}{b+1+bc}=1\)

29 tháng 6 2021
Sao ngu vậy bn
2 tháng 4 2017

Thay abc = 2 vào biểu thức A ta được:

\(A=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{abc\cdot c}{ac+abc+abc}\\ A=\dfrac{1}{b+1+bc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{1+bc+b}\\ A=\dfrac{1+b+bc}{1+b+bc}\\ A=1\)

22 tháng 12 2017

Hàng thứ 2 phải sửa lại như vậy:

\(A=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{abc.c}{ac+abc.c+abc}\)

20 tháng 12 2018

Bài 2:

a) \(A=\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}\)

\(A=\dfrac{a^3}{abc}+\dfrac{b^3}{abc}+\dfrac{c^3}{abc}\)

\(A=\dfrac{1}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(A=\dfrac{1}{abc}\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]\)

\(a+b+c=0\)

Nên a + b = -c (1)

Thay (1) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{1}{abc}\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3\right]\)

\(A=\dfrac{1}{abc}.3abc\)

\(A=3\)

b) \(B=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)

\(B=\dfrac{a^2}{a^2-\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{b^2-\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c^2}{c^2-\left(a^2+b^2\right)}\)

\(a+b+c=0\)

Nên b + c = -a

=> ( b + c )2 = (-a)2

=> b2 + c2 + 2bc = a2

=> b2 + c2 = a2 - 2bc (1)

Tương tự ta có: c2 + a2 = b2 - 2ac (2)

a2 + b2 = c - 2ab (3)

Thay (1), (2) và (3) vào B, ta được:

\(B=\dfrac{a^2}{a^2-\left(a^2-2bc\right)}+\dfrac{b^2}{b^2-\left(b^2-2ac\right)}+\dfrac{c^2}{c^2-\left(c^2-2ab\right)}\)

\(B=\dfrac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2+2ac}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2+2ab}\)

\(B=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)

\(B=\dfrac{a^3}{2abc}+\dfrac{b^3}{2abc}+\dfrac{c^3}{2abc}\)

\(B=\dfrac{1}{2abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\) ( câu a )

\(\Rightarrow B=\dfrac{1}{2abc}.3abc\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{3}{2}\)

20 tháng 12 2018

Bài 1:

a) GT: abc = 2

\(M=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

\(M=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{abc+2cb+2b}\)

\(M=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{2+2cb+2b}\)

\(M=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{2\left(1+cb+b\right)}\)

\(M=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\)

\(M=\dfrac{1+b+bc}{bc+b+1}\)

\(M=1\)

b) GT: abc = 1

\(N=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)

\(N=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{cb}{b\left(ac+c+1\right)}\)

\(N=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{abc+bc+b}\)

\(N=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\)

\(N=\dfrac{1+b+bc}{bc+b+1}\)

\(N=1\)

NV
30 tháng 12 2021

\(\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

\(=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{ab}{abc+ab+a}+\dfrac{2c}{ac+2c+abc}\)

\(=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{ab}{2+ab+a}+\dfrac{2}{a+2+ab}\)

\(=\dfrac{ab+a+2}{ab+a+2}=1\)

8 tháng 10 2018

ta có : \(A=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)

\(=\dfrac{a}{abc+ab+a}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{abc^2}{abc^2+abc+ac}\)

\(=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\) \(=\dfrac{bc+b+1}{bc+b+1}=1\) (sữa đề)

23 tháng 12 2017

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{b}{bc+b+1}\)\(\frac{2c}{ac+2c+2}\)

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{ab}{a\left(bc+b+1\right)}\)\(\frac{2abc}{ab\left(ac+2c+2\right)}\)

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{ab}{abc+ab+a}\)\(\frac{2abc}{a^2bc+2abc+2ab}\)

\(\frac{a}{ab+a+2}\)\(\frac{ab}{ab+a+2}\)\(\frac{2}{ab+a+2}\)   (vì  abc = 2  )

\(\frac{ab+a+2}{ab+a+2}\)= 1

25 tháng 12 2017

tại sao lại nhân vs a và ab z bn

26 tháng 1 2022

nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh

\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)

VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)

=>(đpcm)

mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\) 

chỉ cần chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé

 

 

26 tháng 1 2022

 

 

3 tháng 12 2021

\(a,A=\dfrac{-3\left(2n-3\right)-8}{2n-3}=-3-\dfrac{8}{2n-3}\in Z\\ \Leftrightarrow2n-3\inƯ\left(8\right)=\left\{-8;-4;-2;-1;1;2;4;8\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{1;2\right\}\left(n\in Z\right)\)

\(b,\dfrac{ab}{a+2b}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{a+2b}{ab}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{bc}{b+2c}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\dfrac{b+2c}{bc}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{4}\\ \dfrac{ca}{c+2a}=3\Leftrightarrow\dfrac{c+2a}{ca}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{3}\)

Cộng vế theo vế \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{7}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{7}{12}\\ \Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{7}{12}\\ \Leftrightarrow T=\dfrac{12}{7}\)

20 tháng 8 2023

Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và 

\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)

Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)

\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)

\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))

\(T\le\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)

 (Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)

20 tháng 8 2023

 Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!

\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)

\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)

\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)

NV
24 tháng 12 2022

\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)

\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)

b.

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)

24 tháng 12 2022

khi 9+4\(\sqrt{5}\) là từ đâu ạ