Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O và trực tâm H. Tia AH cắt BC ở I, cắt đường tròn O ở E, đường kính AD.Chứng minh:
a) AB.AC=AD.AI
b)B,C,E,D là 4 đỉnh của hình thang cân
c)H và E đối xứng với nhau qua BC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a. Ta có:
$\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn - cung BC)
$\Rightarrow BN\perp AC, CM\perp AB$
Tam giác $ABC$ có 2 đường cao $BN, CM$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
b. Gọi $D$ là giao của $AH$ và $BC$. Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH\perp BC$ tại $D$.
Tam giác $BMC$ vuông tại $M$
$\Rightarrow$ trung tuyến $MO= \frac{BC}{2}=BO$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow BOM$ là tam giác cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{OBM}=90^0-\widehat{BCM}$
$=90^0-\widehat{DCH}=\widehat{MHA}=\widehat{MHE}(1)$
$CM\perp AB$ nên $AMH$ là tam giác vuông tại $M$
$\Rightarrow ME=\frac{AH}{2}=EH$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow MEH$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{MHE}=\widehat{EMH}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{EMH}$
$\Rightarrow \widehat{OMB}+\widehat{OMC}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}$
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{EMO}$
$\Rightarrow \widehat{EMO}=90^0$
$\Rightarrow EM\perp MO$ nên $EM$ là tiếp tuyến $(O)$
c.
Ta có:
$EM=\frac{AH}{2}=EN$
$OM=ON$
$\Rightarrow EO$ là trung trực của $MN$
Gọi $T$ là giao điểm $EO, MN$ thì $EO\perp MN$ tại $T$ và $T$ là trung điểm $MN$.
Xét tam giác $EMO$ vuông tại $M$ có $MT\perp EO$ thì:
$ME.MO = MT.EO = \frac{MN}{2}.EO$
$\Rightarrow 2ME.MO = MN.EO$
Vì góc AED chắn nửa đường tròn tâm O ( AD )
=> \(\widehat{AED}=90^0\)
=> AE \(\perp\)AD hay AH \(\perp\)ED
Mà AH \(\perp\)BC
=> ED // BC
Vì góc ACD chắn nửa đường tròn => \(\widehat{ACD}=90^0\)
Ta có : \(\widehat{BEA}=\widehat{BCA}\)
Mặt khác : \(\widehat{BEA}+\widehat{EBC}=90^0;\widehat{BCA}+\widehat{BCD}=90^0\)
=> \(\widehat{EBC}=\widehat{BCD}\)
Xét hình thang BCDE ( ED // BC ) có :
\(\widehat{EBC}=\widehat{BCD}\)(hai góc cùng kề cạnh BC )
=> BCDE là hình thang cân
Lời giải:
a)
Xét tam giác $ABI$ và $ADC$ có:
$\widehat{ABI}=\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (góc nt cùng chắn cung $AC$)
$\widehat{AIB}=90^0=\widehat{ACD}$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \triangle ABI\sim \triangle ADC$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow AB.AC=AD.AI$
b)
Vì $\triangle ABI\sim \triangle ADC$ nên $\widehat{BAI}=\widehat{DAC}$
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{EAC}$
$\Rightarrow \text{cung(BD)}=\text{cung(EC)}$
$\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{DCB}(1)$
Lại có:
$\widehat{AED}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) nên $AE\perp ED$. Mà $AE\perp BC$ nên $ED\parallel BC(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra $BEDC$ là hình thang cân nên ta có đpcm.
c)
Ta có:
$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}=\widehat{ACD}-\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{HBC}$Hay $\widehat{EBI}=\widehat{HBI}$
$\Rightarrow \triangle EBI=\triangle HBI$ (g.c.g)
$\Rightarrow HI=EI$
Ta thấy $HE\perp BC$ tại $I$ và $I$ là trung điểm $HE$ nghĩa là $H,E$ đối xứng nhau qua $BC$
Hình vẽ: