chứng minh rằng : x>0,y>0 thì 1/x+1/y>4/x+y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DQ
0
NT
1
DT
2
12 tháng 6 2017
x+1/y = 1, ta có:
+ x=1-1/y (1)
+ (xy+1)/y=1 => xy+1=y (2)
y+1/x >=4
<=> (xy+1)/x >=4
(1), (2) => y/ (y-1) /y >=4
<=> y^2/ (y-1) >=4
<=> y^2 >= 4y -4
<=> y^2 -4y +4 >=0
<=> (y-2)^2 >=0 (đúng)
12 tháng 6 2017
Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải :
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*)
Áp dụng kết quả đó ta có
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)]
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x)
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y)
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy
Cộng lại ba bdt trên ta sẽ có được điều cần chứng minh
T
0
QB
0
30 tháng 7 2017
Vì 1 số bất kì nhân với 0 thì đều bằng 0
nên \(x\times y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)
\(\left(2a-3\right)\times\left(\frac{3}{4}a+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2a-3=0\\\frac{3}{4}a+1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1,5\\a=-\frac{4}{3}\end{cases}}}\)
MV
0
VK
2
MT
29 tháng 8 2015
\(\text{Xét hiệu:}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{y^2+xy}{x^2y+xy^2}+\frac{x^2+xy}{x^2y+xy^2}-\frac{4xy}{x^2y+xy^2}\)
\(=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y+xy^2}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\)
\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y và }x>0;y>0\)
\(\text{nên: }\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\text{ với mọi x;y hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)
MT
29 tháng 8 2015
\(\text{Xét hiệu:}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x^2+xy}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y };x>0;y>0\)
\(\text{Nên }\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\ge0\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y }\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi x=y}\)
