Cho x,y là các số thực thoả mãn \(X^2+y^2=1\). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của (x+y)\(^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 9 2015
Giả thiết cho ta \(\left(x^2+y^2\right)^2+x^2+2y^2=3.\) Đặt \(t=x^2+y^2\) (ta có \(t\ge0\)).
Giá trị lớn nhất: Từ giả thiết ta suy ra \(t^2+t=3-y^2\le3\to\left(t+\frac{1}{2}\right)^2\le3+\frac{1}{4}\to t\le\frac{\sqrt{13}-1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(y=0,x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(B=t\) là \(\frac{\sqrt{13}-1}{2}.\)
Giá trị bé nhất: Từ giả thiết \(t^2+2t=3+x^2\ge3\to\left(t+1\right)^2\ge4\to t+1\ge2\to t\ge1.\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=0,y=\pm1\). Vậy giá trị bé nhất của \(B=t\) là \(1.\)
I
18 tháng 5 2021
\(10x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=20\)
\(=>\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(9x^2+\frac{y^2}{4}\right)=20\)
\(=>\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(3x+\frac{y}{2}\right)^2=20\)
Ta có \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{x.1}{x}}\ge2\)dấu = xảy ra khi x=1
=> y=6
=> MinP=6
Mình nghxi zậy
8 tháng 6 2023
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)
\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)
Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Ta có:
\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)
\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24
H
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
\(P=\dfrac{6x+6y+2xy}{2}=\dfrac{6x+6y+2xy+10-10}{2}\)
\(=\dfrac{6x+6y+2xy+2\left(x^2+y^2\right)+6}{2}-5\)
\(=\dfrac{\left(x+y+2\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-5\ge-5\)
\(P_{min}=-5\) khi \(x=y=-1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 6 2023
Lời giải:
$A=(x+y)(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2+y^2)+(x-y)^2$
$\geq 2(x^2+y^2)=(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=2^2=4$ (theo BĐT Bunhiacopxky)
Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
KN
22 tháng 2 2020
\(x+y=1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}.\frac{1}{xy}}=3.\frac{1}{xy}\ge3.4=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Tìm GTLN:
Xét hiệu $2.(x^2+y^2)-(x+y)^2=2.(x^2+y^2)-x^2-y^2-2xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$
Nên $(x+y)^2 \leq 2.(x^2+y^2)=2$ (do $x^2+y^2=1$)
Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-y)^2=0;x^2+y^2=1⇔x=y;x^2+y^2=1⇔x=y=\dfrac{1}{\sqrt[]2}$
Tìm Min:
Có $(x+y)^2 \geq 0$ với mọi $x;y$
Dấu $=$ xảy ra $⇔(x+y)^2=0;x^2+y^2=0⇔x=-y;x^2+y^2=1⇔x=\dfrac{1}{\sqrt[]2};y=-\dfrac{1}{\sqrt[]2}$ và hoán vị